Тригонометрические тождества. Функции y = sin x и y = cos x

План урока

Урок 1 · 0–20 минПроверочная работа по домашнему заданию: разминка и проверка ДЗ

Урок 1 · 20–40 минОсновное тригонометрическое тождество. Тангенс и котангенс. Простейшие преобразования

Урок 2 · 0–5 минРадианная мера угла

Урок 2 · 5–17 минФункции y = sin x и y = cos x: графики и свойства

Урок 2 · 17–37 минТренировочная работа по новым темам

Урок 2 · 37–40 минПодведение итогов. Домашнее задание

1. Основное тригонометрическое тождество

На предыдущем уроке было установлено, что углу α соответствует точка P(cos α; sin α) единичной окружности.

Координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют её уравнению x² + y² = 1. Подставив в это уравнение координаты точки P, получим равенство, верное при любом значении α.

sin²α + cos²α = 1

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Геометрический смысл

Для угла α первой четверти опустим из точки P перпендикуляр PM на ось x. В прямоугольном треугольнике OMP катеты равны cos α и sin α, а гипотенуза OP равна радиусу, то есть 1.

По теореме Пифагора OM² + MP² = OP², что и даёт cos²α + sin²α = 1.

Для углов других четвертей длины катетов равны |cos α| и |sin α|; равенство сохраняется, поскольку квадраты не зависят от знака.

Обозначение. Запись sin²α означает (sin α)², то есть квадрат синуса. Её не следует путать с записью sin α², которая означает синус квадрата угла.

Выражение одной функции через другую.
sin²α = 1 − cos²α, cos²α = 1 − sin²α.

Ограниченность.
Каждое слагаемое неотрицательно, поэтому −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1.

2. Тангенс и котангенс

Тангенсом угла α называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

Котангенсом угла α называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

tg α = sin αcos α (cos α ≠ 0)

ctg α = cos αsin α (sin α ≠ 0)

Тангенс не определён для углов, при которых cos α = 0 (например, 90° и 270°). Котангенс не определён для углов, при которых sin α = 0 (например, 0° и 180°).

Знак тангенса совпадает со знаком произведения sin α · cos α: тангенс положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV четвертях. Котангенс имеет те же знаки.

Соотношения между функциями одного угла

tg α · ctg α = 1

1 + tg²α = 1cos²α

1 + ctg²α = 1sin²α

Две последние формулы получаются делением обеих частей основного тождества на cos²α и на sin²α соответственно.

Основные значения тангенса и котангенса

α	0° 0	30° π6	45° π4	60° π3	90° π2
tg α	0	√33	1	√3	не определён
ctg α	не определён	√3	1	√33	0

3. Нахождение значений тригонометрических функций по одному из них

Алгоритм

Из основного тождества выразите квадрат искомой функции: например, cos²α = 1 − sin²α.
Вычислите значение квадрата.
Извлеките квадратный корень. Уравнение t² = a, где a > 0, имеет два корня: t = ±√a.
Выберите знак по координатной четверти, в которой расположен угол α.
Найдите тангенс и котангенс по определению.

Типичная ошибка. Из равенства cos²α = 1625 нельзя сразу заключить, что cos α = 45. Следует учитывать оба значения ±45 и выбирать знак по четверти.

Это то же правило, что и √(a²) = |a|: квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Пример 1

Известно, что sin α = 35 и 90° < α < 180°. Найдите cos α, tg α и ctg α.

cos²α = 1 − 925 = 1625, поэтому cos α = ±45. Угол α принадлежит II четверти, где абсцисса отрицательна, следовательно, cos α = −45.

Итог: cos α = −45, tg α = (35) : (−45) = −34, ctg α = −43.

Пример 2

Известно, что cos α = −513 и 180° < α < 270°. Найдите sin α и tg α.

sin²α = 1 − 25169 = 144169, sin α = ±1213. В III четверти ордината отрицательна, поэтому sin α = −1213.

Итог: sin α = −1213, tg α = (−1213) : (−513) = 125. Положительный знак тангенса согласуется с правилом знаков для III четверти.

Пример 3

Известно, что tg α = 12 и 180° < α < 270°. Найдите cos α и sin α.

По формуле 1 + tg²α = 1cos²α получаем 1cos²α = 54, откуда cos²α = 45.

В III четверти cos α < 0, поэтому cos α = −2√5 = −2√55.

Далее sin α = tg α · cos α = −√55.

4. Простейшие тригонометрические преобразования

При упрощении выражений основное тождество применяется как в прямом, так и в обратном направлении: единицу можно заменить суммой sin²α + cos²α, а эту сумму можно заменить единицей.

Доказательство тождества. Чтобы доказать тождество, преобразуют одну из его частей до совпадения с другой либо показывают, что разность левой и правой частей равна нулю. Проверка равенства для нескольких значений α доказательством не является.

Примеры

(1 − cos α)(1 + cos α) = 1 − cos²α = sin²α

sin²α1 − sin²α = sin²αcos²α = tg²α

tg α · cos α = (sin αcos α) · cos α = sin α (cos α ≠ 0)

(sin α + cos α)² = sin²α + 2 sin α cos α + cos²α = 1 + 2 sin α cos α

5. Радианная мера угла

Определение

Углом в один радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Длина единичной окружности равна 2π, поэтому полному обороту (360°) соответствует 2π радиан, а развёрнутому углу (180°) соответствует π радиан.

Формулы перехода: α(рад) = α° · π180, α° = α(рад) · 180π.

Градусы	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Радианы	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π

При записи углов в радианах обозначение «рад» обычно опускают: sin(π6) = 12. Для оценок используют приближение π ≈ 3,14.

Если единица измерения не указана, угол считается заданным в радианах. Например, sin 2 — это синус угла в 2 радиана, то есть приблизительно 115°.

6. Функция y = sin x

Каждому действительному числу x поставим в соответствие точку единичной окружности, полученную поворотом начального радиуса на угол x радиан. Ордината этой точки равна sin x.

Тем самым на множестве всех действительных чисел определена функция y = sin x.

Построение графика

Перенесём ординаты точек единичной окружности на координатную плоскость, откладывая по оси абсцисс величину угла x. На рисунке выделена точка, соответствующая углу π3.

Ордината точки окружности, соответствующей углу x, равна значению функции y = sin x в точке x.

x	0	π6	π2	5π6	π	7π6	3π2	11π6	2π
sin x	0	12	1	12	0	−12	−1	−12	0

При повороте на 2π точка возвращается в исходное положение, поэтому sin(x + 2π) = sin x. Часть графика, построенная на отрезке [0; 2π], повторяется на каждом следующем отрезке длины 2π.

График функции y = sin x называется синусоидой. Ниже он изображён на отрезке [−2π; 2π]; отмечены точки из таблицы значений.

График функции y = sin x на отрезке [−2π; 2π].

7. Функция y = cos x

Аналогично определяется функция y = cos x: её значение в точке x равно абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу x радиан.

По формуле приведения cos x = sin(x + π2). Следовательно, график функции y = cos x получается из синусоиды сдвигом вдоль оси абсцисс на π2 влево; он также является синусоидой.

x	0	π3	π2	2π3	π	4π3	3π2	5π3	2π
cos x	1	12	0	−12	−1	−12	0	12	1

График функции y = cos x на отрезке [−2π; 2π].

Графики функций y = sin x и y = cos x в одной системе координат.

8. Свойства функций y = sin x и y = cos x

В каждой ячейке сначала указаны свойства на отрезке [0; 2π], затем в скобках приведена общая запись для всей числовой прямой (k ∈ ℤ).

Свойство	y = sin x	y = cos x
Область определения	ℝ	ℝ
Область значений	[−1; 1]	[−1; 1]
Наименьший положительный период	2π	2π
Чётность	нечётная: sin(−x) = −sin x	чётная: cos(−x) = cos x
Нули	0, π, 2π (x = πk)	π2, 3π2 (x = π2 + πk)
Наибольшее значение 1	x = π2 (π2 + 2πk)	x = 0, x = 2π (2πk)
Наименьшее значение −1	x = 3π2 (−π2 + 2πk)	x = π (π + 2πk)
Возрастает	[0; π2] и [3π2; 2π] ([−π2 + 2πk; π2 + 2πk])	[π; 2π] ([−π + 2πk; 2πk])
Убывает	[π2; 3π2] ([π2 + 2πk; 3π2 + 2πk])	[0; π] ([2πk; π + 2πk])
Положительна	(0; π) ((2πk; π + 2πk))	[0; π2) и (3π2; 2π] ((−π2 + 2πk; π2 + 2πk))

Порядок исследования функции по графику

Область определения и область значений.
Нули функции и промежутки знакопостоянства.
Промежутки возрастания и убывания.
Наибольшее и наименьшее значения. При исследовании на отрезке проверяют, принадлежат ли отрезку точки максимума и минимума, и сравнивают с ними значения на концах отрезка.

Этот порядок применим к любой функции; ранее он использовался при исследовании квадратичной функции.

Область значений функций вида y = a sin x + b

Область значений находят оценкой, исходя из неравенства −1 ≤ sin x ≤ 1.

Например, для функции y = 1 − 2 sin x умножим неравенство на −2, изменив знаки неравенства на противоположные: −2 ≤ −2 sin x ≤ 2. Прибавив 1, получим −1 ≤ y ≤ 3, то есть E(y) = [−1; 3].

y = sin x + b: график сдвигается вдоль оси ординат на b; E(y) = [b − 1; b + 1].

y = a sin x, a > 0: график растягивается вдоль оси ординат в a раз; E(y) = [−a; a].

9. Задания для первичного закрепления

Основные задания

1.Найдите cos α, если sin α = 1213 и 0° < α < 90°.

2.Упростите выражение (1 − sin α)(1 + sin α) + sin²α.

3.По графику функции y = cos x укажите на отрезке [0; 2π] промежуток, на котором cos x < 0.

4.Найдите область значений функции y = sin x − 1.

Дополнительные задания

5.Известно, что tg α = 3. Найдите значение выражения 2 sin α − cos αsin α + 3 cos α.

6.Может ли выполняться равенство sin α = tg α = 13?

7.Сколько корней имеет уравнение sin x = 0,3 на отрезке [0; 3π]?

8.Найдите наименьший положительный период функций y = sin 2x и y = cos(x2).

Ответы для самопроверки

1. cos α = 513.

2. 1.

3. (π2; 3π2).

4. [−2; 0].

5. Разделим числитель и знаменатель на cos α ≠ 0: 2 tg α − 1tg α + 3 = 56.

6. Нет. При sin α ≠ 0 из sin α = sin αcos α следует cos α = 1, но тогда sin α = 0.

7. 4: по два на отрезках [0; π] и [2π; 3π].

8. π и 4π.

Домашнее задание

Выполните задания одного из уровней: базового (№1–6) или повышенного (№1п–6п). Задачи 7* и 8* выполняются по желанию.

При выполнении используйте основное тригонометрическое тождество, определения тангенса и котангенса и свойства функций синус и косинус.

Перед выполнением заданий повторите формулы с помощью тренажёра: «Тригонометрические формулы» →
В начале работы введите имя и фамилию; результаты тренировки будут переданы учителю.

Базовый уровень

1.Найдите cos α и tg α, если sin α = −513 и 180° < α < 270°.

2.Найдите sin α и tg α, если cos α = 0,6 и 270° < α < 360°.

3.Упростите выражения: а) sin²α − 1; б) cos α · tg α; в) (1 − cos α)(1 + cos α) + cos²α.

4.Постройте в тетради по точкам график функции y = cos x на отрезке [−π; 2π]. По графику укажите на отрезке [0; 2π] нули функции, её наибольшее и наименьшее значения, промежутки возрастания и убывания.

5.Найдите область значений функции: а) y = cos x − 3; б) y = 4 sin x.

6.Повторение. а) Разложите на множители квадратный трёхчлен 2x² − x − 1. б) Решите неравенство x − 2x + 3 < 0.

Повышенный уровень

1п.Найдите sin α и cos α, если tg α = 2 и π < α < 3π2.

2п.Докажите тождество 1 − sin αcos α = cos α1 + sin α.

3п.Упростите выражение tg α + cos α1 + sin α.

4п.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = cos x на отрезке [−π3; 3π4].

5п.Найдите область значений функции: а) y = 5 − 3 sin²x; б) y = 2 cos x − 1.

6п.Расположите в порядке возрастания числа cos 1, cos 2, cos 3, cos 0,5.

7*.задача на размышление Сколько корней имеет уравнение cos x = x²?

8*.задача на размышление Известно, что tg α + ctg α = 3. Найдите: а) tg²α + ctg²α; б) sin α · cos α.

Ответы для самопроверки

1. cos α = −1213, tg α = 512.

2. sin α = −0,8, tg α = −43.

3. а) −cos²α; б) sin α; в) 1.

4. Нули π2 и 3π2; наибольшее значение 1 при x = 0 и x = 2π; наименьшее значение −1 при x = π; убывает на [0; π], возрастает на [π; 2π].

5. а) [−4; −2]; б) [−4; 4].

6. а) Корни 1 и −12, 2x² − x − 1 = 2(x − 1)(x + 12) = (x − 1)(2x + 1); б) (−3; 2).

1п. cos²α = 11 + tg²α = 15; cos α = −√55, sin α = tg α · cos α = −2√55.

2п. (1 − sin α)(1 + sin α) = 1 − sin²α = cos²α. При cos α ≠ 0 оба знаменателя отличны от нуля, и из равенства произведений следует равенство дробей.

3п. sin α(1 + sin α) + cos²αcos α(1 + sin α) = sin α + 1cos α(1 + sin α) = 1cos α.

4п. Наибольшее значение 1 при x = 0; на концах отрезка 12 и −√22; наименьшее значение −√22.

5п. а) [2; 5]; б) [−3; 1].

6п. На [0; π] косинус убывает: cos 3 < cos 2 < cos 1 < cos 0,5.

7*. 2. Так как cos x ≤ 1, корни возможны только при |x| ≤ 1. На [0; 1] функция cos x убывает, а x² возрастает, поэтому там ровно один корень (cos 0 > 0, cos 1 < 1). Обе функции чётны, следовательно, есть ещё один отрицательный корень.

8*. а) (tg α + ctg α)² − 2 tg α ctg α = 9 − 2 = 7; б) tg α + ctg α = sin²α + cos²αsin α cos α = 1sin α cos α, откуда sin α cos α = 13.