Единичная окружность. Синус и косинус

План урока

0–15 минКоррекционная работа по материалу сентября

15–35 минЕдиничная окружность. Определения sin α и cos α

35–40 минПервичное закрепление. Домашнее задание

1. Единичная окружность и угол как мера поворота

Единичной окружностью называется окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На координатной плоскости она задаётся уравнением

x² + y² = 1.

Угол в данной модели рассматривается как мера поворота луча вокруг начала координат. Начальным положением луча служит положительное направление оси x. Поворот против часовой стрелки считается положительным.

Точка пересечения подвижного луча с единичной окружностью называется точкой, соответствующей углу α. При изменении угла эта точка перемещается по окружности.

Интерактивная модель

Используйте модель для наблюдения за зависимостью координат точки от величины угла.

Открыть тренажёр «Тригонометрическая окружность»

Наблюдение. Сравните положения точки при углах 0°, 90°, 180° и 270°. Установите, как изменяются её абсцисса и ордината при переходе из одной координатной четверти в другую.

2. Синус и косинус угла

Пусть углу α соответствует точка P(x; y) единичной окружности.

Абсциссой точки называется её первая координата, то есть координата по оси x. Ординатой называется вторая координата, то есть координата по оси y.

Косинусом угла α называется абсцисса точки P, соответствующей этому углу.

Синусом угла α называется ордината точки P, соответствующей этому углу.

cos α = x, sin α = y

Следовательно, координаты точки P можно записать в виде P(cos α; sin α).

Значения для углов, соответствующих координатным осям

Угол	Точка на окружности	cos α	sin α
0°	(1; 0)	1	0
90°	(0; 1)	0	1
180°	(−1; 0)	−1	0
270°	(0; −1)	0	−1

Основные значения синуса и косинуса в первой четверти

Значения синуса и косинуса для углов 30°, 45° и 60° являются точными значениями и используются в дальнейших преобразованиях и вычислениях.

α	0° 0	30° π/6	45° π/4	60° π/3	90° π/2
cos α	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin α	0	1/2	√2/2	√3/2	1

3. Знаки синуса и косинуса

Координатные оси делят плоскость на четыре области, называемые координатными четвертями. Знак синуса и косинуса определяется знаком соответствующей координаты точки единичной окружности.

cos α имеет тот же знак, что и абсцисса x: в I и IV четвертях cos α > 0, во II и III четвертях cos α < 0.

sin α имеет тот же знак, что и ордината y: в I и II четвертях sin α > 0, в III и IV четвертях sin α < 0.

Для проверки закономерностей используйте режимы отображения знаков sin α и cos α в тренажёре.

4. Формулы приведения: алгоритм и примеры

Формулами приведения называют формулы, позволяющие выразить значения тригонометрических функций углов вида π ± α, 2π ± α, π/2 ± α через значения функций угла α.

Алгоритм применения формул приведения

Определите, к какому виду относится угол: π ± α, 2π ± α или π/2 ± α.
Установите, сохраняется ли название функции:
- для углов вида π ± α и 2π ± α название функции сохраняется;
- для углов вида π/2 ± α синус и косинус меняются местами.
Определите знак по координатной четверти, в которой расположен соответствующий угол: для sin знак определяется знаком ординаты, для cos — знаком абсциссы.

Сохранение названия функции.
Углы вида π ± α и 2π ± α приводят к той же функции: sin → sin, cos → cos.

Смена названия функции.
Углы вида π/2 ± α приводят к смене функции: sin ↔ cos.

Основные формулы, необходимые для повторения:

sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α

sin(π + α) = −sin α, cos(π + α) = −cos α

sin(2π − α) = −sin α, cos(2π − α) = cos α

sin(π/2 − α) = cos α, cos(π/2 − α) = sin α

sin(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = −sin α

Пример 1

sin(π − α). Если угол α острый, то угол π − α расположен во II четверти.

Во II четверти ордината положительна, следовательно, sin(π − α) > 0. По модулю ордината такая же, как у угла α.

Итог: sin(π − α) = sin α.

Пример 2

cos(π − α). Тот же угол π − α расположен во II четверти.

Во II четверти абсцисса отрицательна, следовательно, cos(π − α) < 0. По модулю абсцисса совпадает с cos α, но знак меняется.

Итог: cos(π − α) = −cos α.

Пример 3

sin(π + α). При остром α угол π + α расположен в III четверти.

В III четверти ордината отрицательна, следовательно, sin(π + α) < 0. По модулю значение равно sin α.

Итог: sin(π + α) = −sin α.

Пример 4

cos(π/2 + α). Угол вида π/2 + α расположен во II четверти, поэтому сначала меняется название функции, а затем определяется знак.

Для углов вида π/2 ± α косинус переходит в синус. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому результат имеет знак «минус».

Итог: cos(π/2 + α) = −sin α.

5. Задания для первичного закрепления

1.Точка P, соответствующая углу α, расположена во II четверти. Определите знаки cos α и sin α.

2.Для угла α = 180° укажите координаты соответствующей точки P и найдите значения sin α и cos α.

3.Если P = (0; −1), определите угол из диапазона 0° ≤ α < 360°, которому соответствует эта точка.

Домашнее задание

При выполнении заданий используйте определения синуса и косинуса через координаты точки единичной окружности и таблицу основных значений. Для самопроверки можно использовать интерактивный тренажёр.

1.Найдите значения:

а) sin 30°; б) cos 60°; в) sin 45°; г) cos 30°.

2.Какая точка единичной окружности соответствует углу α = 90°?

A. (1; 0)

Б. (0; 1)

В. (−1; 0)

Г. (0; −1)

3.В какой координатной четверти одновременно выполняются условия sin α < 0 и cos α < 0?

A. I

Б. II

В. III

Г. IV

4.Если cos α = −√2/2 и sin α = √2/2, то соответствующая точка единичной окружности расположена:

A. в I четверти

Б. во II четверти

В. в III четверти

Г. в IV четверти

5.Установите соответствие между углами и координатами точек единичной окружности:

1) 0° 2) 90° 3) 180° 4) 270°

A. (0; −1) Б. (−1; 0) В. (1; 0) Г. (0; 1)

6.Используя формулы приведения, найдите значения:

а) sin 150°; б) cos 120°; в) sin 210°; г) cos 330°.

7.Преобразуйте выражения:

а) sin(π − α); б) cos(π + α); в) sin(π/2 − α); г) cos(π/2 + α).

8.Найдите точные значения:

а) sin 135°; б) cos 225°; в) sin 300°; г) cos 315°.

9.дополнительно Не вычисляя значения функции, определите её знак:

а) sin 210°; б) cos 150°; в) sin 300°; г) cos 330°.

Ответы для самопроверки

1. а) 1/2; б) 1/2; в) √2/2; г) √3/2.

2. Б.

3. В.

4. Б.

5. 1–В, 2–Г, 3–Б, 4–А.

6. а) 1/2; б) −1/2; в) −1/2; г) √3/2.

7. а) sin α; б) −cos α; в) cos α; г) −sin α.

8. а) √2/2; б) −√2/2; в) −√3/2; г) √2/2.

9. а) −; б) −; в) −; г) +.