План урока
1. Повторение: графики функций y = sin x и y = cos x
Значение sin x равно ординате точки единичной окружности, соответствующей углу x. Пусть точка равномерно вращается по окружности против часовой стрелки, а лист клетчатой бумаги равномерно протягивается влево сквозь вертикальную прямую.
Если в каждый момент отмечать на этой прямой высоту точки, на листе остаётся след: график функции y = sin x.
Для косинуса окружность на анимации повёрнута на 90°: ось абсцисс направлена вверх. Тогда высота точки над горизонтальным диаметром равна cos x, и на листе остаётся график функции y = cos x.
Горизонтальный масштаб листа: одна клетка соответствует углу π4. Подписи на оси абсцисс движутся вместе с листом.
Полная таблица свойств функций y = sin x и y = cos x приведена в конспекте предыдущего урока.
2. Определение функции y = tg x
На предыдущем уроке тангенс угла был определён как отношение синуса к косинусу: tg α = sin αcos α.
Каждому действительному числу x, для которого cos x ≠ 0, поставим в соответствие число tg x. Тем самым определена функция y = tg x.
Косинус обращается в нуль в точках x = π2 + πk, k ∈ ℤ. В этих точках тангенс не определён.
Геометрический смысл: линия тангенсов
Проведём касательную к единичной окружности в точке (1; 0), то есть прямую x = 1. Прямая OP, где P — точка окружности, соответствующая углу x, пересекает эту касательную в точке T.
Из подобия прямоугольных треугольников следует, что ордината точки T равна sin xcos x = tg x. Поэтому прямую x = 1 называют линией тангенсов.
Для углов II и III четвертей точку T даёт продолжение радиуса OP за точку O. При x, близких к π2, прямая OP почти вертикальна, и ордината точки T неограниченно возрастает.
3. Периодичность и нечётность
Период
Точки единичной окружности, соответствующие углам x и x + π, симметричны относительно начала координат. Поэтому sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x, откуда
Наименьший положительный период функции y = tg x равен π, тогда как у синуса и косинуса он равен 2π.
Чётность
Область определения функции симметрична относительно нуля, и для любого x из неё
Следовательно, функция y = tg x нечётная, и её график симметричен относительно начала координат.
4. График функции y = tg x
| x | −π3 | −π4 | −π6 | 0 | π6 | π4 | π3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tg x | −√3 ≈ −1,73 | −1 | −√33 ≈ −0,58 | 0 | √33 ≈ 0,58 | 1 | √3 ≈ 1,73 |
При приближении x к π2 слева значения tg x неограниченно возрастают, при приближении x к −π2 справа неограниченно убывают.
Прямые x = π2 + πk называют вертикальными асимптотами графика: график неограниченно приближается к ним, но не пересекает их.
График функции y = tg x называется тангенсоидой. Он состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей; каждая ветвь получается из центральной сдвигом вдоль оси абсцисс на πk.
На рисунке изображены три ветви; точки из таблицы значений отмечены на центральной ветви, асимптоты показаны штриховыми линиями.
5. Свойства функции y = tg x
| Свойство | y = tg x (k ∈ ℤ) |
|---|---|
| Область определения | x ≠ π2 + πk |
| Область значений | ℝ |
| Наименьший положительный период | π |
| Чётность | нечётная: tg(−x) = −tg x |
| Нули | x = πk |
| Положительна | (πk; π2 + πk) |
| Отрицательна | (−π2 + πk; πk) |
| Монотонность | возрастает на каждом интервале (−π2 + πk; π2 + πk) |
| Наибольшее и наименьшее значения | не существуют |
| Вертикальные асимптоты | x = π2 + πk |
- С помощью периода перенесите оба аргумента в интервал (−π2; π2).
- Сравните полученные аргументы и воспользуйтесь возрастанием функции на этом интервале.
Пример: tg 2 = tg(2 − π), tg 3 = tg(3 − π), где 2 − π ≈ −1,14 и 3 − π ≈ −0,14. Так как −1,14 < −0,14, получаем tg 2 < tg 3.
Пример. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = tg x на отрезке [−π6; π4].
Отрезок содержится в интервале (−π2; π2), на котором функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
y(−π6) = −√33, y(π4) = 1.
Ответ: наименьшее значение −√33, наибольшее значение 1.
Если отрезок содержит точку вида π2 + πk, функция определена не во всех точках отрезка; в этом случае наибольшего или наименьшего значения может не существовать.
6. Преобразования графика. Чтение свойств по графику
Графики функций, заданных формулами, близкими к y = tg x, получаются из тангенсоиды известными преобразованиями. Правила те же, что и для любой функции y = f(x).
Пример. Свойства функции y = tg(x − π4)
График получается сдвигом тангенсоиды на π4 вправо.
Асимптоты: x − π4 = π2 + πk, то есть x = 3π4 + πk.
Нули: x − π4 = πk, то есть x = π4 + πk.
Монотонность: функция возрастает на каждом интервале (−π4 + πk; 3π4 + πk).
Область значений ℝ, наименьший положительный период π.
7. Задания для самостоятельной работы
Решите задания в тетради. Затем откройте плашку «Проверить себя» под заданием и сравните ответ и ход решения.
Основные задания
Проверить себя
Проверить себя
Проверить себя
Проверить себя
Проверить себя
Дополнительные задания
Проверить себя
Проверить себя
Проверить себя
Проверить себя
Проверить себя
Домашнее задание
Выполните задания одного из уровней: базового (№1–7) или повышенного (№1п–7п). Задачи 8* и 9* выполняются по желанию.
Задания охватывают функцию y = tg x и графики функций y = sin x и y = cos x. При выполнении используйте свойства этих функций и их графики.
Для повторения формул воспользуйтесь тренажёром: «Тригонометрические формулы» →
В начале работы введите имя и фамилию; результаты тренировки будут переданы учителю.
Базовый уровень
Повышенный уровень
Ответы для самопроверки
1. а) √3 · √33 = 1; б) 1 − (−1) = 2; в) √3 · (−√33) + 0 = −1.
2. а) −; б) +; в) −; г) −, так как 2 ∈ (π2; π).
3. Нули: 0 и π. tg x > 0 на интервалах (0; π2) и (π; 3π2).
4. а) π8 < π6, поэтому tg π8 < tg π6; б) −1,2 < −1, оба числа лежат в (−π2; π2), поэтому tg(−1,2) < tg(−1).
5. Функция возрастает на [−π4; π3]: наименьшее значение tg(−π4) = −1, наибольшее значение tg π3 = √3.
6. а) π4 и 5π4; б) (π4; 5π4).
7. а) На [π3; π] косинус убывает, на [π; 3π2] возрастает. Наименьшее значение −1 при x = π; на концах cos π3 = 12, cos 3π2 = 0, наибольшее значение 12. б) −1 ≤ sin x ≤ 1, поэтому −3 ≤ 2 sin x − 1 ≤ 1, E(y) = [−3; 1].
1п. а) 2x ≠ π2 + πk, x ≠ π4 + πk2, k ∈ ℤ; б) 3π.
2п. Сдвиг тангенсоиды на π4 влево. Асимптоты x = π4 + πk; нули x = −π4 + πk; возрастает на каждом интервале (−3π4 + πk; π4 + πk).
3п. tg 2 = tg(2 − π), tg 3 = tg(3 − π), tg 4 = tg(4 − π), где 2 − π ≈ −1,14; 3 − π ≈ −0,14; 4 − π ≈ 0,86 и все аргументы, вместе с числом 1, лежат в (−π2; π2). Так как −1,14 < −0,14 < 0,86 < 1, получаем tg 2 < tg 3 < tg 4 < tg 1.
4п. Пусть t = tg x; на отрезке [0; π3] t принимает все значения из [0; √3]. Квадратичная функция f(t) = t² − 2t имеет вершину t = 1, f(1) = −1; на концах f(0) = 0, f(√3) = 3 − 2√3 ≈ −0,46. Наименьшее значение −1 (при x = π4), наибольшее значение 0 (при x = 0).
5п. а) [π4; π2); б) (−π2; −π3).
6п. График y = cos x сдвигается на π3 вправо и растягивается вдоль оси ординат в 2 раза. E(y) = [−2; 2]. Наибольшее значение 2 при x = π3, наименьшее значение −2 при x = 4π3.
7п. Число 1 лежит в интервале (π4; π3), поэтому cos 1 < √22 < sin 1 < 1 < tg 1. Ответ: cos 1, sin 1, tg 1.
8*. 2. Корень x = 0; на (0; π2) выполняется tg x > x, так как отрезок линии тангенсов длиннее соответствующей дуги. На (π2; π] и (3π2; 2π] tg x ≤ 0 < x. На (π; 3π2) функция tg x возрастает от 0 до +∞ и пересекает прямую y = x ровно один раз (x ≈ 4,49).
9*. При a ≠ 0. На [0; π2) тангенс принимает каждое неотрицательное значение ровно один раз, на (π2; π] — каждое неположительное. Значение 0 достигается дважды: при x = 0 и x = π.