План занятия
Урок 1
- 0–15 минПроверочная работа по домашним заданиям
- 15–25 минВычисление производной по определению. Производная функция
- 25–33 минФизический смысл производной
- 33–40 минРешение задач у доски и в тетради
Перемена
Урок 2
- 0–10 минТаблица производных
- 10–17 минПроизводная степенной функции
- 17–24 минЗначение производной в точке
- 24–32 минУравнения и неравенства с производной
- 32–38 минСкорость и касательная
- 38–40 минДомашнее задание
Планируемый результат. Находить производную по определению; истолковывать производную как мгновенную скорость изменения величины; находить производные степенных и тригонометрических функций по таблице; вычислять значение производной в точке; решать уравнения и неравенства вида f′(x) = a, f′(x) > a; находить скорость движения и угловой коэффициент касательной.
1. Вычисление производной по определению
Производная функции в точке
f′(x0) = limΔx → 0 ΔyΔx = limΔx → 0 f(x0 + Δx) − f(x0)Δx
Нахождение производной по определению
- Найти приращение функции Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) и упростить.
- Составить отношение ΔyΔx и сократить на Δx.
- Найти предел полученного выражения при Δx → 0.
На прошлом уроке по определению найдены производные двух функций: (kx + b)′ = k и (x2)′ = 2x0 в любой точке x0. Тем же способом находятся производные других функций.
Производная функция. Дифференцирование
Если функция y = f(x) имеет производную в каждой точке промежутка, то каждому x из этого промежутка соответствует число f′(x). Так задаётся новая функция f′(x) — производная функции f. Нахождение производной называется дифференцированием.
Примеры
Пример 1. f(x) = c, где c — число.
Отношение равно нулю при любом Δx, поэтому (c)′ = 0: постоянная величина не изменяется, скорость её изменения равна нулю.
Δy = c − c = 0, ΔyΔx = 0.
Пример 2. f(x) = x3.
Итог: (x3)′ = 3x2. Например, f′(2) = 12, f′(−1) = 3.
Δy = (x0 + Δx)3 − x03 =
= 3x02Δx + 3x0(Δx)2 + (Δx)3,
ΔyΔx = 3x02 + 3x0Δx + (Δx)2 → 3x02.
Типичная ошибка. (x0 + Δx)3 ≠ x03 + (Δx)3. Куб суммы раскрывается по формуле (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Пример 3. f(x) = 1x, x0 ≠ 0.
Итог: (1x)′ = −1x2. Например, f′(2) = −14.
Δy = 1x0 + Δx − 1x0 = −Δxx0(x0 + Δx),
ΔyΔx = −1x0(x0 + Δx) → −1x02.
Пример 4. f(x) = √x, x0 > 0. Числитель и знаменатель умножаются на сопряжённое выражение √x0 + Δx + √x0:
Итог: (√x)′ = 12√x при x > 0. В точке 0 касательная к графику вертикальна, производная не существует.
Δy = √x0 + Δx − √x0 = Δx√x0 + Δx + √x0,
ΔyΔx = 1√x0 + Δx + √x0 → 12√x0.
Итог. По определению получены производные:
(c)′ = 0, (kx + b)′ = k, (x2)′ = 2x, (x3)′ = 3x2, (1x)′ = −1x2, (√x)′ = 12√x.
Для x2 и x3 показатель степени переходит в коэффициент, а сам уменьшается на 1. Эта закономерность общая, она лежит в основе таблицы производных.
2. Физический смысл производной
Точка движется по прямой, и пройденный путь задан функцией s = s(t). За промежуток времени от t0 до t0 + Δt путь изменяется на Δs = s(t0 + Δt) − s(t0). Отношение ΔsΔt — средняя скорость на этом промежутке.
При Δt → 0 средняя скорость стремится к мгновенной скорости в момент t0. Этот предел по определению является производной функции s(t) в точке t0. Производная пути по времени равна мгновенной скорости — в этом состоит физический смысл производной.
В общем случае производная f′(x0) — скорость изменения функции f в точке x0. Производная скорости по времени — скорость изменения скорости, то есть ускорение.
Геометрический смысл производной известен с прошлого урока: f′(x0) — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0. На графике пути мгновенная скорость равна угловому коэффициенту касательной.
Мгновенная скорость
v(t0) = limΔt → 0 ΔsΔt = s′(t0)
Ускорение
a(t) = v′(t)
| Величина | Производная по времени |
|---|---|
| путь s(t) | скорость v(t) = s′(t) |
| скорость v(t) | ускорение a(t) = v′(t) |
| заряд q(t), прошедший через сечение проводника | сила тока I(t) = q′(t) |
| работа A(t) | мощность N(t) = A′(t) |
| объём воды в баке V(t) | скорость наполнения V′(t) |
Примеры
Пример 5. Тело падает без начальной скорости, путь s(t) = 5t2 (s — в метрах, t — в секундах). Найти скорость в момент t = 2 с.
Скорость v(t) = 10t, v(2) = 20 м/с. Средняя скорость на промежутке [2; 2,1] равна 20,5 м/с (задача 3п домашнего задания) и близка к мгновенной. Скорость возрастает на 10 м/с за каждую секунду: ускорение a = v′(t) = 10 м/с2 — ускорение свободного падения (округлённо).
Δs = 5(t0 + Δt)2 − 5t02 = 10t0Δt + 5(Δt)2,
ΔsΔt = 10t0 + 5Δt → 10t0.
Пример 6. Тело брошено вертикально вверх, его высота h(t) = 20t − 5t2 (h — в метрах, t — в секундах). Найти скорость в моменты 1, 2 и 3 с.
Скорость v(t) = 20 − 10t: v(1) = 10 м/с — тело поднимается; v(2) = 0 — верхняя точка, h(2) = 20 м; v(3) = −10 м/с — тело опускается, знак «минус» означает движение вниз.
Δh = 20Δt − 5(2t0Δt + (Δt)2),
ΔhΔt = 20 − 10t0 − 5Δt → 20 − 10t0.
3. Задания для самостоятельной работы. Производная по определению, скорость
Решите задания в тетради. Затем откройте плашку «Проверить себя» под заданием и сравните ответ и ход решения.
Основные задания
1.По определению найдите производную функции y = x2 − 2x в точке x0 = 3.
f′(3) = 4.
Проверить себя
Δy = (2x0 − 2)Δx + (Δx)2,
ΔyΔx = 2x0 − 2 + Δx → 2x0 − 2.
2.По определению найдите производную функции y = 2x2 в точке x0 = −1.
f′(−1) = −4.
Проверить себя
Δy = 2(x0 + Δx)2 − 2x02 = 4x0Δx + 2(Δx)2,
ΔyΔx = 4x0 + 2Δx → 4x0.
3.Пользуясь результатом примера 3, найдите f′(−1) и f′(12) для функции f(x) = 1x.
Проверить себя
f′(x) = −1x2; f′(−1) = −1, f′(12) = −1 : 14 = −4.
4.Точка движется по закону s(t) = 4t2 (s — в метрах, t — в секундах). По определению найдите v(t) и скорость в момент t = 3 с.
v(t) = 8t, v(3) = 24 м/с.
Проверить себя
Δs = 8t0Δt + 4(Δt)2,
ΔsΔt = 8t0 + 4Δt → 8t0.
5.Тело брошено вертикально вверх, высота h(t) = 15t − 5t2 (h — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость в моменты t = 1 с и t = 2 с и объясните знаки.
v(t) = 15 − 10t; v(1) = 5 м/с — тело поднимается; v(2) = −5 м/с — тело опускается.
Проверить себя
ΔhΔt = 15 − 10t0 − 5Δt → 15 − 10t0.
Дополнительные задания
6.По определению найдите производную функции y = x3 − x в точке x0 и точки, в которых она равна нулю.
f′(x0) = 3x02 − 1; 3x02 = 1, x0 = ±√33.
Проверить себя
Δy = 3x02Δx + 3x0(Δx)2 + (Δx)3 − Δx,
ΔyΔx = 3x02 − 1 + 3x0Δx + (Δx)2 → 3x02 − 1.
7.В условиях задания 5 найдите момент, когда тело находится в верхней точке, и наибольшую высоту подъёма.
Проверить себя
В верхней точке скорость равна нулю: 15 − 10t = 0, t = 1,5 с. h(1,5) = 22,5 − 11,25 = 11,25 м.
8.Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, изменяется по закону q(t) = t2 + t (q — в кулонах, t — в секундах). Найдите силу тока в момент t = 3 с.
I(t) = q′(t) = 2t + 1, I(3) = 7 А.
Проверить себя
Δq = (2t0 + 1)Δt + (Δt)2,
ΔqΔt = 2t0 + 1 + Δt → 2t0 + 1.
9.Точка движется по закону s(t) = t3 (s — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость в момент t = 2 с. Найдя по определению производную функции v(t), найдите ускорение в тот же момент.
Проверить себя
По примеру 2 v(t) = 3t2, v(2) = 12 м/с.
a(t) = 6t, a(2) = 12 м/с2.
Δv = 3(2t0Δt + (Δt)2),
ΔvΔt = 6t0 + 3Δt → 6t0.
4. Таблица производных
Производные, найденные по определению, записываются одной формулой. При n = 2 и n = 3 получено (xn)′ = nxn − 1. Функции 1x и √x также являются степенями: 1x = x−1, √x = x1/2. По той же формуле (x−1)′ = −x−2 = −1x2 и (x1/2)′ = 12x−1/2 = 12√x — это совпадает с результатами примеров 3 и 4.
Формула (xn)′ = nxn − 1 верна для любого действительного показателя n; при дробном n она применяется для x > 0. Производные синуса и косинуса принимаются без доказательства. На рисунке ниже угловые коэффициенты касательных к синусоиде совпадают со значениями косинуса в тех же точках.
| Функция | Производная |
|---|---|
| c (число) | 0 |
| x | 1 |
| kx + b | k |
| xn | nxn − 1 |
| √x | 12√x |
| 1x | −1x2 |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
Приведение к степени
Например, (1x3)′ = (x−3)′ = −3x−4 = −3x4.
1xn = x−n, n√xm = xm/n, xa · xb = xa + b.
Типичные ошибки.
- (cos x)′ = −sin x: знак «минус» не теряется.
- (x−3)′ = −3x−4, а не −3x−2: показатель уменьшается на 1, −3 − 1 = −4.
- Перед дифференцированием корни и дроби записываются в виде степени.
y = sin xy = cos xкасательные
5. Примеры решения задач
Решение каждого примера открывается кнопкой «Решение».
Производная степенной функции
Пример 7.y = 1x5.
Решение
y = x−5, y′ = −5x−6 = −5x6.
Пример 8.y = 4√x3.
Решение
y = x3/4, y′ = 34x−1/4 = 344√x.
Пример 9.y = x2√x.
Решение
y = x2 · x1/2 = x5/2, y′ = 52x3/2 = 52x√x.
Пример 10.y = 1x∛x.
Решение
y = x−4/3, y′ = −43x−7/3 = −43x2∛x.
Значение производной в точке
Пример 11.f(x) = x6. Найти f′(−1).
Решение
f′(x) = 6x5, f′(−1) = 6 · (−1)5 = −6.
Пример 12.f(x) = ∛x. Найти f′(8).
Решение
f(x) = x1/3, f′(x) = 13x−2/3 = 13∛x2; f′(8) = 13 · 4 = 112.
Пример 13.f(x) = cos x. Найти f′(π3).
Решение
f′(x) = −sin x, f′(π3) = −sin π3 = −√32.
Пример 14.f(x) = sin x. Найти f′(π).
Решение
f′(x) = cos x, f′(π) = cos π = −1. Значение f(π) = 0 к ответу не относится: сначала находится производная, затем в неё подставляется точка.
Уравнения и неравенства с производной
Пример 15.f(x) = x4. Решить уравнение f′(x) = 32.
Решение
4x3 = 32, x3 = 8, x = 2.
Пример 16.f(x) = 1x. Решить уравнение f′(x) = −19.
Решение
−1x2 = −19, x2 = 9, x = ±3.
Пример 17.f(x) = √x. Решить неравенство f′(x) > 1.
Решение
Производная определена при x > 0. 12√x > 1, √x < 12, 0 < x < 14.
Ответ: (0; 14).
Ответ: (0; 14).
Пример 18.f(x) = cos x. Решить уравнение f′(x) = √32.
Решение
−sin x = √32, sin x = −√32.
Ответ: x = −π3 + 2πk, x = −2π3 + 2πk, k ∈ ℤ.
Ответ: x = −π3 + 2πk, x = −2π3 + 2πk, k ∈ ℤ.
Пример 19.f(x) = sin x. Решить неравенство f′(x) < 12.
Решение
cos x < 12. На единичной окружности абсцисса меньше 12 на дуге от π3 до 5π3.
Ответ: (π3 + 2πk; 5π3 + 2πk), k ∈ ℤ.
Ответ: (π3 + 2πk; 5π3 + 2πk), k ∈ ℤ.
Скорость и касательная
Угловой коэффициент касательной к графику функции f в точке с абсциссой x0 равен k = f′(x0) = tg α, где α — угол наклона касательной к оси абсцисс. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
Пример 20.Точка движется по закону s(t) = t4 (s — в метрах, t — в секундах). Найти скорость в момент t = 2 с и момент, когда скорость равна 4 м/с.
Решение
v(t) = s′(t) = 4t3, v(2) = 32 м/с. 4t3 = 4, t = 1 с.
Пример 21.Найти точки графика y = x3, в которых касательная параллельна прямой y = 3x + 1.
Решение
f′(x0) = 3: 3x02 = 3, x0 = ±1. Точки (1; 1) и (−1; −1).
Пример 22.Найти угол наклона касательной к графику y = √x в точке x0 = 112.
Решение
√112 = 12√3, f′(112) = 1 : 22√3 = √3. tg α = √3, α = 60°.
Пример 23.Существует ли касательная к графику y = x3 с угловым коэффициентом −1?
Решение
3x02 = −1 не имеет решений, так как 3x02 ≥ 0. Такой касательной нет: все касательные к графику y = x3 имеют неотрицательный угловой коэффициент.
6. Задания для самостоятельной работы. Таблица производных
Решите задания в тетради. Затем откройте плашку «Проверить себя» под заданием и сравните ответ и ход решения.
Найдите производную функции
Основные задания
А1.y = x7.
Проверить себя
y′ = 7x6.
А2.y = 1x3.
Проверить себя
y = x−3, y′ = −3x−4 = −3x4.
А3.y = ∛x2.
Проверить себя
y = x2/3, y′ = 23x−1/3 = 23∛x.
А4.y = x√x.
Проверить себя
y = x3/2, y′ = 32x1/2 = 32√x.
Дополнительные задания
А5.y = 1√x.
Проверить себя
y = x−1/2, y′ = −12x−3/2 = −12x√x.
А6.y = x2 · x5x3.
Проверить себя
Сначала выражение упрощается: y = x4 (при x ≠ 0), y′ = 4x3.
А7.y = ∛x√x.
Проверить себя
x√x = x3/2, y = x1/2 = √x, y′ = 12√x.
Найдите значение производной в точке
Основные задания
Б1.f(x) = √x, f′(4).
Проверить себя
f′(4) = 12√4 = 14.
Б2.f(x) = 1x, f′(−2).
Проверить себя
f′(−2) = −1(−2)2 = −14.
Б3.f(x) = sin x, f′(π3).
Проверить себя
f′(π3) = cos π3 = 12.
Б4.f(x) = cos x, f′(π6).
Проверить себя
f′(π6) = −sin π6 = −12.
Дополнительные задания
Б5.f(x) = 1x2, f′(12).
Проверить себя
f′(x) = −2x−3 = −2x3, f′(12) = −2 : 18 = −16.
Б6.f(x) = ∛x, f′(27).
Проверить себя
f′(x) = 13∛x2, f′(27) = 13 · 9 = 127.
Б7.f(x) = sin x, f′(−π4).
Проверить себя
f′(−π4) = cos(−π4) = √22.
Решите уравнение или неравенство
Основные задания
В1.f(x) = x3, f′(x) = 12.
Проверить себя
3x2 = 12, x2 = 4, x = ±2.
В2.f(x) = √x, f′(x) = 1.
Проверить себя
12√x = 1, √x = 12, x = 14.
В3.f(x) = 1x, f′(x) = −4.
Проверить себя
−1x2 = −4, x2 = 14, x = ±12.
В4.f(x) = sin x, f′(x) = 12.
Проверить себя
cos x = 12, x = ±π3 + 2πk, k ∈ ℤ.
Дополнительные задания
В5.f(x) = cos x, f′(x) = 0.
Проверить себя
−sin x = 0, x = πk, k ∈ ℤ.
В6.f(x) = sin x, f′(x) > 0.
Проверить себя
cos x > 0, x ∈ (−π2 + 2πk; π2 + 2πk), k ∈ ℤ.
В7.f(x) = cos x, f′(x) ≥ −√22.
Проверить себя
−sin x ≥ −√22, sin x ≤ √22.
x ∈ [−5π4 + 2πk; π4 + 2πk], k ∈ ℤ.
x ∈ [−5π4 + 2πk; π4 + 2πk], k ∈ ℤ.
Скорость и касательная
Основные задания
Г1.Точка движется по закону s(t) = t3 (s — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость при t = 2 с и момент, когда скорость равна 27 м/с.
Проверить себя
v(t) = 3t2, v(2) = 12 м/с. 3t2 = 27, t = 3 с (момент времени неотрицателен).
Г2.Найдите угловой коэффициент касательной к графику y = x4 в точке x0 = −1.
Проверить себя
k = 4 · (−1)3 = −4.
Г3.В какой точке касательная к графику y = √x параллельна прямой y = x2?
Проверить себя
12√x0 = 12, x0 = 1. Точка (1; 1).
Г4.Найдите угол наклона касательной к графику y = √x в точке x0 = 34.
Проверить себя
√34 = √32, f′(34) = 1√3. tg α = 1√3, α = 30°.
Дополнительные задания
Г5.В каких точках касательная к графику y = 1x параллельна прямой y = −x9?
Проверить себя
−1x02 = −19, x0 = ±3. Точки (3; 13) и (−3; −13).
Г6.В каких точках касательная к графику y = sin x образует с осью абсцисс угол 45°? 135°? 60°?
Проверить себя
45°: cos x = 1, x = 2πk. 135°: cos x = −1, x = π + 2πk, k ∈ ℤ. 60°: cos x = √3 — решений нет, так как √3 > 1, а |cos x| ≤ 1.
Г7.Точка совершает колебания по закону x(t) = cos t (x — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость в момент t = π2 с и моменты, когда скорость равна нулю.
Проверить себя
v(t) = −sin t, v(π2) = −1 м/с. v = 0 при t = πk, k = 0, 1, 2, … — в эти моменты точка находится в крайних положениях.
Домашнее задание
Выполните задания одного из уровней: базового (№1–5) или повышенного (№1п–4п). Задание со звёздочкой выполняется по желанию.
Теория
Выучить
- Определение производной функции в точке: формулировку и формулу f′(x0) = limΔx → 0 ΔyΔx.
- Три шага нахождения производной по определению.
- Физический смысл производной: v(t) = s′(t), a(t) = v′(t).
- Геометрический смысл производной: k = f′(x0) = tg α.
- Таблицу производных (часть 4 конспекта), все восемь строк.
Повторить
- Свойства степеней: 1xn = x−n, n√xm = xm/n, xa · xb = xa + b, xaxb = xa − b.
- Значения синуса и косинуса углов 0, π6, π4, π3, π2, π.
- Решение уравнений sin x = a, cos x = a и простейших неравенств по единичной окружности (урок 13.10).
- Угловой коэффициент прямой y = kx + b; у параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
Разобрать по конспекту
- Примеры 2–4: вывод производных x3, 1x и √x по определению.
- Примеры 5 и 6: скорость падающего тела и тела, брошенного вверх.
- Примеры, похожие на задания ДЗ: №1–2 и 1п — примеры 7–10; №3 — примеры 11–12; №4 — пример 15; №5 — пример 20; 2п — пример 19; 3п — пример 21; 4п — пример 6; 5* — пример 22 и задание Г6.
Задачи
Базовый уровень
1.Найдите производную функции y = x−5.
2.Найдите производную функции y = 4√x3.
3.Найдите f′(9) для функции f(x) = √x.
4.Решите уравнение f′(x) = 3 для функции f(x) = x3.
5.Точка движется по закону s(t) = t3 (s — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость в момент t = 3 с.
Повышенный уровень
1п.Найдите производные функций y = x−5 и y = 1x2∛x.
2п.Решите неравенство f′(x) ≤ 0 для функции f(x) = cos x.
3п.Найдите точки графика y = x3, в которых касательная параллельна прямой y = 12x − 5.
4п.Тело брошено вертикально вверх, высота h(t) = 25t − 5t2 (h — в метрах, t — в секундах). По определению найдите v(t), момент достижения верхней точки и наибольшую высоту.
5*.В каких точках касательная к графику y = cos x образует с осью абсцисс угол 135°?
Ответы для самопроверки
1. y′ = −5x−6 = −5x6.
2. y′ = 34x−1/4 = 344√x.
3. f′(9) = 16.
4. x = ±1.
5. v(3) = 27 м/с.
1п. −5x6; y = x−7/3, y′ = −73x3∛x.
2п. sin x ≥ 0, x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ ℤ.
3п. (2; 8) и (−2; −8).
4п. v(t) = 25 − 10t; t = 2,5 с; h(2,5) = 31,25 м.
5*. sin x = 1, x = π2 + 2πk, k ∈ ℤ.