Понятие производной

План занятия

Практикум · 0–20 мин

0–2 минОрганизационный момент
2–5 минВопросы по домашнему заданию
5–18 минПрактикум: простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
18–20 минСбор работ. Ответы к двум заданиям

Новая тема · 20–40 мин

20–23 минСредняя и мгновенная скорость
23–28 минПриращение аргумента и приращение функции
28–33 минОтношение приращений. Секущая
33–37 минПредельный переход. Определение производной
37–40 минДомашнее задание

Планируемый результат. Находить приращение аргумента и приращение функции; вычислять отношение ΔyΔx и истолковывать его как среднюю скорость изменения функции и угловой коэффициент секущей; находить по определению производную функций y = kx + b и y = x².

1. Средняя и мгновенная скорость

Автомобиль проехал 120 км за 2 ч. Средняя скорость движения равна отношению пройденного пути ко времени: 120 : 2 = 60 км/ч. Эта величина не определяет скорость в конкретный момент, например в момент проезда моста: на одних участках автомобиль движется быстрее, на других медленнее, перед светофором стоит.

Скорость в заданный момент t₀ находится так. Средняя скорость вычисляется на всё более коротких промежутках времени [t₀; t₀ + Δt]: за минуту, за секунду, за десятую долю секунды. При уменьшении Δt значения средней скорости приближаются к некоторому числу. Это число называется мгновенной скоростью в момент t₀; именно её показывает спидометр.

Та же задача возникает для любой функции: требуется описать, насколько быстро изменяется значение функции вблизи заданной точки. Средняя скорость изменения функции на отрезке вычисляется через приращения, а скорость изменения в точке — через предельный переход. Так вводится производная, одно из основных понятий математического анализа.

Средняя скорость на промежутке [t₀; t₀ + Δt]

v_ср = s(t₀ + Δt) − s(t₀)Δt

Здесь s(t) — путь, пройденный к моменту t.

Пример. Тело падает без начальной скорости, путь в метрах s(t) = 5t². Средняя скорость на промежутках, начинающихся в момент t₀ = 1 с:

Δt, с	1	0,5	0,1	0,01
v_ср, м/с	15	12,5	10,5	10,05

Значения приближаются к 10 м/с: мгновенная скорость тела в момент t = 1 с равна 10 м/с.

2. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть функция y = f(x) определена в точке x₀ и вблизи неё. При переходе от значения аргумента x₀ к значению x аргумент получает приращение, а функция — соответствующее приращение.

Приращение аргумента Разность нового и исходного значений аргумента: Δx = x − x₀. Отсюда x = x₀ + Δx.

Приращение функции Разность значений функции в точках x₀ + Δx и x₀:

Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀)

Используется также обозначение Δf.

Приращения для функции y = x² при x₀ = 2, Δx = 0,5.

Примеры

Пример 1. y = x², x₀ = 2, Δx = 0,5.

Δy = f(2,5) − f(2) = 2,5² − 2² = 6,25 − 4 = 2,25.

Пример 2. y = 3x − 1, x₀ = 1, Δx = 0,2.

Δy = f(1,2) − f(1) = 2,6 − 2 = 0,6.

Пример 3. y = x², x₀ = 2, Δx = −0,5.

Δy = f(1,5) − f(2) = 2,25 − 4 = −1,75.

Знаки приращений. Приращения Δx и Δy могут быть отрицательными; Δx ≠ 0. Запись Δx — единый символ, а не произведение Δ на x. Квадрат приращения записывается со скобками: (Δx)².

3. Отношение приращений. Секущая

Средняя скорость изменения функции Отношение приращения функции к приращению аргумента ΔyΔx — средняя скорость изменения функции на отрезке с концами x₀ и x₀ + Δx.

Через точки графика A(x₀; f(x₀)) и B(x₀ + Δx; f(x₀ + Δx)) проходит прямая AB — секущая графика. При движении от A к B абсцисса изменяется на Δx, ордината — на Δy. Поэтому угловой коэффициент секущей равен отношению приращений:

k_AB = ΔyΔx

При одинаковом масштабе по осям угловой коэффициент равен тангенсу угла между секущей и положительным направлением оси абсцисс.

Секущая графика y = x²: x₀ = 1, Δx = 1, Δy = 3, k_AB = 3.

Отношение приращений для двух функций

Линейная функция y = kx + b.

Δy = k(x₀ + Δx) + b − (kx₀ + b) = kΔx,

ΔyΔx = k.

Отношение не зависит ни от x₀, ни от Δx. График — прямая, и любая её секущая совпадает с ней самой.

Функция y = x².

Δy = (x₀ + Δx)² − x₀² = 2x₀Δx + (Δx)²,

ΔyΔx = 2x₀ + Δx.

Проверка по примеру 1: при x₀ = 2, Δx = 0,5 получается 4 + 0,5 = 4,5 и 2,25 : 0,5 = 4,5.

4. Предельный переход. Определение производной

Для функции y = x² в точке x₀ = 1 отношение приращений равно ΔyΔx = 2 + Δx. Значения при уменьшении |Δx|:

Δx	1	0,5	0,1	0,01	−0,01	−0,1	−0,5
ΔyΔx	3	2,5	2,1	2,01	1,99	1,9	1,5

При Δx → 0 отношение стремится к числу 2, причём как при положительных, так и при отрицательных Δx. Это записывается так:

limΔx → 0 ΔyΔx = 2

Геометрически секущая AB поворачивается вокруг точки A и приближается к предельному положению. Предельное положение секущей называется касательной к графику в точке A; её угловой коэффициент равен 2.

Приращение Δx (ползунок)

секущая ABкасательная в точке A

Производная функции в точке Производной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует. Обозначение: f′(x₀) (читается «эф штрих от икс нулевого»).

f′(x₀) = limΔx → 0 ΔyΔx = limΔx → 0 f(x₀ + Δx) − f(x₀)Δx

Нахождение производной по определению

Найти приращение функции Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) и упростить.
Составить отношение ΔyΔx и сократить на Δx.
Найти предел полученного выражения при Δx → 0.

Типичная ошибка. Подстановка Δx = 0 в отношение до сокращения даёт запись 00, которая не имеет смысла. Сначала отношение упрощается и сокращается на Δx, затем выполняется предельный переход.

Итог.

Для y = kx + b: ΔyΔx = k при любом Δx, поэтому f′(x₀) = k в любой точке.
Для y = x²: ΔyΔx = 2x₀ + Δx → 2x₀, поэтому f′(x₀) = 2x₀. Например, f′(1) = 2, f′(−3) = −6.
Угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой x₀ равен f′(x₀).

5. Касательная, движущаяся по графику

Точка x₀ перемещается вдоль оси абсцисс, вместе с ней по графику перемещается точка M(x₀; f(x₀)). В каждом положении строится касательная к графику. Угол α отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до касательной; тангенс этого угла равен производной: tg α = f′(x₀). Масштаб по осям одинаковый, поэтому угол на рисунке совпадает с вычисленным.

Флажок «Секущая» добавляет секущую через точки с абсциссами x₀ и x₀ + Δx; при уменьшении Δx она приближается к касательной. Флажок «График производной» строит под рисунком точки (x₀; f′(x₀)) по мере движения: производная сама оказывается функцией от x₀. Точку x₀ можно перемещать ползунком или перетаскиванием по рисунку.

Функция

Точка x₀

Секущая График производной

графиккасательнаясекущая

Наблюдения

На промежутках возрастания функции касательная наклонена вправо вверх: α > 0, f′(x₀) > 0. На промежутках убывания α < 0, f′(x₀) < 0.
В вершине параболы, в точках x = ±1 графика y = x³ − 3x и в точках π2 и 3π2 синусоиды касательная горизонтальна: f′(x₀) = 0.
Чем круче график вблизи точки, тем больше |f′(x₀)|. Для y = x² значение f′(x₀) совпадает с 2x₀.

График y = |x² − 1| имеет изломы в точках x = ±1. Справа и слева секущие стремятся к разным прямым: отношение ΔyΔx стремится к 2 при Δx > 0 и к −2 при Δx < 0. Касательной нет, производная в этих точках не существует.
График y = ∛x в точке 0 имеет вертикальную касательную (ось ординат). Отношение ΔyΔx неограниченно возрастает, и производная в точке 0 не существует.

6. Задания для самостоятельной работы

Решите задания в тетради. Затем откройте плашку «Проверить себя» под заданием и сравните ответ и ход решения.

Основные задания

1.Найдите Δx и Δy для функции y = −2x + 5, если x₀ = 2, x = 1,5.

Проверить себя

Δx = 1,5 − 2 = −0,5; Δy = f(1,5) − f(2) = 2 − 1 = 1. Приращение функции положительно, хотя приращение аргумента отрицательно: функция убывает.

2.Для функции y = x² найдите Δy и ΔyΔx при x₀ = 1, Δx = 0,1.

Проверить себя

Δy = 1,1² − 1 = 0,21; ΔyΔx = 0,21 : 0,1 = 2,1. Проверка по формуле: 2x₀ + Δx = 2 + 0,1 = 2,1.

3.Для функции y = x² найдите Δy и ΔyΔx при x₀ = −1, Δx = 0,5.

Проверить себя

Δy = (−0,5)² − (−1)² = 0,25 − 1 = −0,75; ΔyΔx = −0,75 : 0,5 = −1,5. Проверка: 2·(−1) + 0,5 = −1,5.

4.Найдите угловой коэффициент секущей графика функции y = x², проходящей через точки графика с абсциссами 1 и 3.

Проверить себя

x₀ = 1, Δx = 2, Δy = 9 − 1 = 8; k = 8 : 2 = 4.

5.Найдите производную функции y = 5x − 2 в точке x₀ = 3.

Проверить себя

Δy = 5Δx, ΔyΔx = 5 при любом Δx, поэтому f′(3) = 5. Производная линейной функции равна угловому коэффициенту в любой точке.

Дополнительные задания

6.По определению найдите производную функции y = x² + x в точке x₀ и вычислите f′(1).

Проверить себя

Δy = (x₀ + Δx)² + x₀ + Δx − x₀² − x₀ = 2x₀Δx + (Δx)² + Δx,

ΔyΔx = 2x₀ + 1 + Δx → 2x₀ + 1.

f′(x₀) = 2x₀ + 1, f′(1) = 3.

7.По определению найдите производную функции y = 1x в точке x₀ = 2.

Проверить себя

Δy = 12 + Δx − 12 = −Δx2(2 + Δx),

ΔyΔx = −12(2 + Δx) → −14.

f′(2) = −14.

8.Для функции y = |x| найдите ΔyΔx в точке x₀ = 0 при Δx > 0 и при Δx < 0. Существует ли f′(0)?

Проверить себя

Δy = |Δx|. При Δx > 0 отношение равно 1, при Δx < 0 равно −1. При Δx → 0 отношение не стремится к одному числу, поэтому f′(0) не существует. В точке 0 график имеет излом, как график y = |x² − 1| в анимации.

Домашнее задание

Выполните задания одного из уровней: базового (№1–3) или повышенного (№1п–3п).

Базовый уровень

1.Найдите Δx и Δy для функции y = 2x + 3, если x₀ = 1, x = 1,5.

2.Для функции y = x² найдите Δy и ΔyΔx при x₀ = 3, Δx = 0,1.

3.Пользуясь формулой ΔyΔx = 2x₀ + Δx, найдите производную функции y = x² в точках x₀ = 3 и x₀ = −1.

Повышенный уровень

1п.Для функции y = x² − 4x найдите Δy в общем виде и ΔyΔx.

2п.По определению найдите производную функции y = x² − 4x в точке x₀ = 1.

3п.Тело движется по закону s(t) = 5t² (s — в метрах, t — в секундах). Найдите среднюю скорость на промежутке [2; 2,1] и предположите, чему равна скорость в момент t = 2 с.

Ответы для самопроверки

1. Δx = 0,5; Δy = 1.

2. Δy = 0,61; ΔyΔx = 6,1.

3. f′(3) = 6; f′(−1) = −2.

1п. Δy = (2x₀ − 4)Δx + (Δx)²; ΔyΔx = 2x₀ − 4 + Δx.

2п. f′(1) = −2.

3п. v_ср = 20,5 м/с; скорость в момент t = 2 с равна 20 м/с.