Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

План урока

Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения

0–2 минОрганизационный момент. Результаты тренировочной работы

2–12 минПовторение: преобразования графика функции y = tg x

12–27 минПроверочная работа по домашнему заданию

27–40 минУравнения sin x = a, cos x = a, tg x = a

Урок 2. Простейшие тригонометрические неравенства

0–12 минПростейшие тригонометрические неравенства

12–22 минПрактикум: уравнения и неравенства

37–40 минПодведение итогов. Домашнее задание

1. Повторение: преобразования графика функции y = tg x

График функции y = tg(x − a) получается из тангенсоиды сдвигом вдоль оси абсцисс на a: вправо при a > 0, влево при a < 0. Вместе с графиком сдвигаются асимптоты и нули. Пример y = tg(x − π4) разобран в разделе 6 конспекта предыдущего урока.

График функции y = tg 2x получается сжатием тангенсоиды к оси ординат в 2 раза. Каждая ветвь становится вдвое уже, поэтому наименьший положительный период равен π2.

Асимптоты находятся из условия «аргумент тангенса равен π2 + πk»: 2x = π2 + πk, то есть x = π4 + πk2, k ∈ ℤ.

Нули находятся из условия «аргумент тангенса равен πk»: 2x = πk, то есть x = πk2, k ∈ ℤ.

Монотонность: функция возрастает на каждом интервале (−π4 + πk2; π4 + πk2).

Штриховой серой линией показан график y = tg x, сплошной зелёной — график y = tg 2x; асимптоты x = π4 + πk2 отмечены оранжевым пунктиром.

Задания 6, 8 и 10 из конспекта предыдущего урока

8.Найдите область определения функции y = tg(x + π6).

Проверить себя

x + π6 ≠ π2 + πk, то есть x ≠ π3 + πk, k ∈ ℤ.

10.С помощью графиков функций y = sin x и y = cos x найдите на отрезке [0; 2π] корни уравнения sin x = cos x.

Проверить себя

π4 и 5π4. В этих точках графики пересекаются.

От графиков к уравнениям. В задании 10 уравнение sin x = cos x решено по графикам. Его можно решить и без графиков, сведя к уравнению с тангенсом. Если cos x = 0, то sin x = ±1, и равенство sin x = cos x невозможно. Поэтому обе части уравнения можно разделить на cos x: уравнение sin x = cos x равносильно уравнению tg x = 1. Уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a называют простейшими тригонометрическими уравнениями; к ним сводится решение большинства тригонометрических уравнений.

2. Уравнения sin x = a и cos x = a

Решить уравнение — значит найти все его корни. Функции sin x и cos x имеют период 2π, поэтому вместе с каждым корнем x₀ корнями являются и все числа x₀ + 2πk. Такое множество корней называют серией и записывают с помощью целого параметра k ∈ ℤ.

Значения sin x и cos x — это ордината и абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу x. Поэтому корни уравнения удобно искать на окружности: нужно найти все точки окружности с заданной ординатой или абсциссой.

Уравнение sin x = a

Ищем точки единичной окружности с ординатой a, то есть точки пересечения окружности с прямой y = a.

Если |a| > 1, прямая не пересекает окружность: корней нет.
Если |a| < 1, точек пересечения две, и они симметричны относительно оси ординат. Если одной точке соответствует угол t, то другой соответствует угол π − t.

x = t + 2πk, x = π − t + 2πk, k ∈ ℤ

Уравнение sin x = 12: прямая y = 12 пересекает окружность в точках, соответствующих углам π6 и π − π6 = 5π6.

Пример. sin x = 12. Ответ: x = π6 + 2πk, x = 5π6 + 2πk, k ∈ ℤ.

Уравнение cos x = a

Ищем точки единичной окружности с абсциссой a, то есть точки пересечения окружности с прямой x = a.

Если |a| > 1, прямая не пересекает окружность: корней нет.
Если |a| < 1, точек пересечения две, и они симметричны относительно оси абсцисс. Если одной точке соответствует угол t, то другой соответствует угол −t.

x = ±t + 2πk, k ∈ ℤ

Уравнение cos x = 12: прямая x = 12 пересекает окружность в точках, соответствующих углам π3 и −π3.

Пример. cos x = 12. Ответ: x = ±π3 + 2πk, k ∈ ℤ.

Частные случаи: a = 0, a = 1, a = −1

При a = ±1 прямая касается окружности, и точка пересечения одна. При a = 0 две подходящие точки диаметрально противоположны, и обе серии записываются одной формулой с шагом π.

Уравнение	a = 0	a = 1	a = −1
sin x = a	x = πk	x = π2 + 2πk	x = −π2 + 2πk
cos x = a	x = π2 + πk	x = 2πk	x = π + 2πk

Во всех формулах k ∈ ℤ. Частные случаи полезно запомнить: записывать их по общей формуле дольше, и при этом легко ошибиться.

3. Уравнение tg x = a. Арксинус, арккосинус, арктангенс

Уравнение tg x = a

На интервале (−π2; π2) функция y = tg x возрастает и принимает каждое действительное значение ровно один раз. Поэтому при любом a уравнение tg x = a имеет на этом интервале единственный корень t. Период тангенса равен π, и все корни образуют одну серию:

x = t + πk, k ∈ ℤ

Пример. tg x = −√3. На интервале (−π2; π2) корень t = −π3. Ответ: x = −π3 + πk, k ∈ ℤ.

Обозначения для корня t

Если a не является табличным значением, корень t записывают с помощью специальных обозначений.

arcsin a (|a| ≤ 1) — число из отрезка [−π2; π2], синус которого равен a.

arccos a (|a| ≤ 1) — число из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

arctg a — число из интервала (−π2; π2), тангенс которого равен a.

Например, arcsin 12 = π6, arccos(−12) = 2π3, arctg(−1) = −π4; уравнение tg x = 2 имеет корни x = arctg 2 + πk.

Прямая y = a пересекает каждую ветвь тангенсоиды ровно в одной точке; соседние корни отличаются на π.

Общие формулы корней (k ∈ ℤ):

sin x = a, |a| ≤ 1:
x = arcsin a + 2πk,
x = π − arcsin a + 2πk

cos x = a, |a| ≤ 1:
x = ±arccos a + 2πk

tg x = a, a — любое число:
x = arctg a + πk

Две серии корней уравнения sin x = a часто записывают одной формулой: x = (−1)^k arcsin a + πk. При чётных k она даёт первую серию, при нечётных — вторую.

Табличные значения

a	−1	−√32	−√22	−12	0	12	√22	√32	1
arcsin a	−π2	−π3	−π4	−π6	0	π6	π4	π3	π2
arccos a	π	5π6	3π4	2π3	π2	π3	π4	π6	0

a	−√3	−1	−√33	0	√33	1	√3
arctg a	−π3	−π4	−π6	0	π6	π4	π3

Отрицательный аргумент. arcsin(−a) = −arcsin a, arctg(−a) = −arctg a, но arccos(−a) = π − arccos a: арккосинус принимает значения из отрезка [0; π] и отрицательным не бывает.

4. Алгоритм решения и типичные ошибки

Алгоритм

Приведите уравнение к виду sin x = a, cos x = a или tg x = a.
Для синуса и косинуса проверьте условие |a| ≤ 1. Если |a| > 1, корней нет.
Проверьте, не является ли случай частным (a = 0, ±1).
Найдите корень t по окружности или по таблице.
Запишите все серии корней и укажите k ∈ ℤ.

Пример 1. 2 cos x + √2 = 0. Тогда cos x = −√22, |a| < 1; arccos(−√22) = 3π4. Ответ: x = ±3π4 + 2πk, k ∈ ℤ.

Пример 2. √3 tg x − 1 = 0. Тогда tg x = 1√3 = √33, t = π6. Ответ: x = π6 + πk, k ∈ ℤ.

Пример 3. 2 sin x + 3 = 0. Тогда sin x = −32, но |−32| > 1. Ответ: корней нет.

Потеряна вторая серия в уравнении sin x = a: записан только корень t + 2πk, а корень π − t + 2πk забыт.

Нет знака «±» в уравнении cos x = a: корни −t + 2πk потеряны.

Неверный период: в ответе уравнения tg x = a записано + 2πk вместо + πk, и половина корней потеряна.

Не проверено условие |a| ≤ 1: запись x = arcsin 32 не имеет смысла, так как синус не превосходит 1.

5. Простейшие тригонометрические неравенства

Неравенства вида sin x > a, cos x ≤ a, tg x ≥ a и т. п. называют простейшими тригонометрическими неравенствами. Их решают по единичной окружности или по графику.

Найдите точки, в которых выполняется равенство.
Выделите дугу окружности (или участки графика), на которой неравенство верно.
Запишите промежуток, двигаясь против часовой стрелки, и добавьте период.

Пример 1. sin x > 12

Ордината точки окружности больше 12 на дуге, лежащей выше прямой y = 12. Её концы соответствуют углам π6 и 5π6; при обходе против часовой стрелки дуга начинается в точке π6 и заканчивается в точке 5π6.

Неравенство строгое, поэтому концы дуги не входят в ответ (на рисунке они показаны пустыми кружками).

Ответ: (π6 + 2πk; 5π6 + 2πk), k ∈ ℤ.

Пример 2. tg x ≥ 1

На интервале (−π2; π2) функция y = tg x возрастает и tg π4 = 1. Значит, на этом интервале tg x ≥ 1 при π4 ≤ x < π2. Точка π2 не входит в ответ: в ней тангенс не определён.

Период тангенса равен π. Ответ: [π4 + πk; π2 + πk), k ∈ ℤ.

Пример 3. cos x ≤ 12

Абсцисса точки окружности не больше 12 на дуге, лежащей левее прямой x = 12. При обходе против часовой стрелки эта дуга идёт от точки π3 до точки 2π − π3 = 5π3; концы входят в ответ.

Ответ: [π3 + 2πk; 5π3 + 2πk], k ∈ ℤ.

Неравенство tg x ≥ 1: участки тангенсоиды не ниже прямой y = 1 выделены; соответствующие промежутки [π4 + πk; π2 + πk) отмечены на оси абсцисс.

Типичная ошибка. В примере 3 записан ответ [π3; −π3]. Левый конец промежутка должен быть меньше правого. При обходе от точки π3 против часовой стрелки точка −π3 соответствует углу 2π − π3 = 5π3, поэтому правый конец промежутка равен 5π3.

6. Задания для самостоятельной работы

Решите задания в тетради. Затем откройте плашку «Проверить себя» под заданием и сравните ответ и ход решения. Во всех ответах k ∈ ℤ.

Основные задания

1.Решите уравнение: а) sin x = −1; б) cos x = 0; в) tg x = 0.

Проверить себя

Частные случаи: а) x = −π2 + 2πk; б) x = π2 + πk; в) x = πk.

2.Решите уравнение cos x = √32.

Проверить себя

arccos √32 = π6. Ответ: x = ±π6 + 2πk.

3.Решите уравнение sin x = −√22.

Проверить себя

arcsin(−√22) = −π4; вторая серия: π − (−π4) = 5π4. Ответ: x = −π4 + 2πk, x = 5π4 + 2πk.

4.Решите уравнение tg x = −√3.

Проверить себя

arctg(−√3) = −π3. Ответ: x = −π3 + πk.

Дополнительные задания

7.Решите уравнение sin 2x = 0.

Проверить себя

2x = πk, откуда x = πk2.

8.Решите неравенство cos x > 0.

Проверить себя

Абсцисса положительна на правой половине окружности, от −π2 до π2, концы не входят. Ответ: (−π2 + 2πk; π2 + 2πk).

9.Решите неравенство tg x < √3.

Проверить себя

На интервале (−π2; π2) tg x < √3 при x < π3. Ответ: (−π2 + πk; π3 + πk).

10.Решите неравенство sin x ≤ −12.

Проверить себя

Ордината не больше −12 на нижней дуге от 7π6 до 11π6, концы входят. Ответ: [7π6 + 2πk; 11π6 + 2πk] (или [−5π6 + 2πk; −π6 + 2πk]).

Домашнее задание

Выполните задания одного из уровней: базового (№1–4) или повышенного (№1п–4п). Задача 8* выполняется по желанию.

Задания охватывают простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Во всех ответах указывайте, что k ∈ ℤ.

Для повторения табличных значений воспользуйтесь тренажёром: «Единичная окружность» →

Базовый уровень

1.Решите уравнение: а) cos x = −12; б) sin x = √32; в) tg x = √33; г) sin x = 1.

2.Решите уравнение: а) 2 cos x − √2 = 0; б) 3 sin x + 4 = 0; в) √3 tg x + 3 = 0.

3.Найдите корни уравнения sin x = −12, принадлежащие отрезку [0; 2π].

4.Решите неравенство: а) sin x ≥ √22; б) tg x < −1.

Повышенный уровень

1п.Решите уравнение: а) 2 sin x + √3 = 0; б) cos 2x = −1; в) tg(x − π6) = √3.

2п.Найдите все корни уравнения cos x = −12, принадлежащие отрезку [−π; 2π].

3п.Решите неравенство: а) cos x < −√22; б) √3 tg x − 1 ≤ 0.

4п.Решите на отрезке [0; 2π] неравенство 2 cos x + 1 > 0.

8*.задача на размышление При каких значениях a уравнение sin x = a имеет на отрезке [0; π] ровно два корня?

Ответы для самопроверки

1. а) x = ±2π3 + 2πk; б) x = π3 + 2πk, x = 2π3 + 2πk; в) x = π6 + πk; г) x = π2 + 2πk.

2. а) cos x = √22, x = ±π4 + 2πk; б) sin x = −43, |−43| > 1, корней нет; в) tg x = −√3, x = −π3 + πk.

3. 7π6 и 11π6.

4. а) [π4 + 2πk; 3π4 + 2πk]; б) (−π2 + πk; −π4 + πk).

1п. а) sin x = −√32, x = −π3 + 2πk, x = 4π3 + 2πk; б) 2x = π + 2πk, x = π2 + πk; в) x − π6 = π3 + πk, x = π2 + πk.

2п. x = ±2π3 + 2πk; на отрезок [−π; 2π] попадают −2π3, 2π3, 4π3.

3п. а) (3π4 + 2πk; 5π4 + 2πk); б) tg x ≤ √33, (−π2 + πk; π6 + πk].

4п. cos x > −12; на отрезке [0; 2π]: [0; 2π3) ∪ (4π3; 2π].

8*. При 0 ≤ a < 1. Прямая y = a при 0 ≤ a < 1 пересекает верхнюю полуокружность (углы от 0 до π) в двух точках, при a = 1 — в одной, при a < 0 и a > 1 — ни в одной.