Тригонометрические формулы — тренажёр

Перед началом

Введите имя и фамилию

Эти данные будут записаны вместе с результатами попытки.

Алгебра · тригонометрия

Тригонометрические формулы

Тренажёр на распознавание, восстановление и применение основных значений, формул приведения, тождеств, формул сложения и двойного угла.

Тренажёр

Раздел 1 из 6

Основные значения синуса и косинуса

Запоминаем закономерность, а затем проверяем отдельные значения в обе стороны.

Закономерность

Угол 0° (0) 30° (π6) 45° (π4) 60° (π3) 90° (π2)
sin √02 √12 √22 √32 √42
cos √42 √32 √22 √12 √02
После упрощения: √02 = 0, √12 = 12, √42 = 1.

Подбери значение · 1

sin 60° = sin π3 = ?
Выберите один вариант

Подбери значение · 2

cos 30° = cos π6 = ?
Выберите один вариант

Подбери значение · 3

sin 45° = sin π4 = ?
Выберите один вариант

Связь в обратную сторону · 1

√32 = cos ( ? )
Выберите угол

Связь в обратную сторону · 2

12 = sin ( ? )
Выберите угол

Связь в обратную сторону · 3

1 = cos ( ? )
Выберите угол

Раздел 2 из 6

Формулы приведения

Главное — не запомнить длинную таблицу, а уверенно применять компактный алгоритм.

Алгоритм

Определи четверть, в которой находится угол.
Определи знак исходной функции в этой четверти.
Для 90° (π2) ± α и 270° (3π2) ± α функция меняется: sin ↔ cos, tg ↔ ctg.
Для 180° (π) ± α и 360° (2π) ± α функция не меняется.

Тригонометрическая окружность

cos sin 0; 2π π/2 π 3π/2 I II III IV sin + cos + sin + cos − sin − cos − sin − cos +

По четверти можно определить знак синуса и косинуса, а затем применить правило замены функции.

Проверка алгоритма · 1

cos(180° − α) = cos(π − α)
Функция изменится?
Какой знак?

Проверка алгоритма · 2

sin(90° + α) = sin(π2 + α)
Функция изменится?
Какой знак?

Проверка алгоритма · 3

cos(270° − α) = cos(3π2 − α)
Функция изменится?
Какой знак?

Собери результат · 1

cos(90° + α) = cos(π2 + α) =

Собери результат · 2

sin(180° + α) = sin(π + α) =

Собери результат · 3

cos(360° − α) = cos(2π − α) =

Раздел 3 из 6

Основные тригонометрические тождества

Все пять формул представлены в теории и все пять участвуют в проверке.

Пять основных формул

sin²x + cos²x= 1
tg x= sin xcos x
ctg x= cos xsin x
1 + tg²x= 1cos²x
1 + ctg²x= 1sin²x

Подбери пары: все пять формул

На телефоне: нажми на правую часть, затем на соответствующую левую. На компьютере можно также перетаскивать.

sin²x + cos²x
tg x
ctg x
1 + tg²x
1 + ctg²x

Восстанови все пять формул

sin²x + = 1
tg x =
ctg x =
1 + tg²x =
1 + ctg²x =

Раздел 4 из 6

Формулы сложения и разности

У синуса функции в произведениях разные и знак сохраняется; у косинуса функции одинаковые и знак меняется.

Структура формул

sin(α + β)= sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β)= sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β)= cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β)= cos α cos β + sin α sin β
sin: разные функции, знак сохраняется.
cos: одинаковые функции, знак меняется.

Восстанови знак

cos(α − β) = cos α cos β sin α sin β

Собери формулу

sin(α − β) =

Раздел 5 из 6

Формулы двойного угла

Сначала связываем их с формулами сложения, затем восстанавливаем основные формы.

Как получается двойной угол

sin(x + x)= 2 sin x cos x
cos(x + x)= cos²x − sin²x

Основные формы

sin 2x= 2 sin x cos x
cos 2x= cos²x − sin²x
cos 2x= 2cos²x − 1
cos 2x= 1 − 2sin²x
tg 2x= 2tg x1 − tg²x

Подбери формулу

sin 2x = ?
Выберите один вариант

Восстанови эквивалентную форму

cos 2x = 1 −

Раздел 6 из 6

Смешанное повторение

Тема заранее не названа: нужно распознать тип знания и восстановить нужную формулу или значение.

Задание 1

cos 45° = cos π4 = ?
Выберите значение

Задание 2

sin(270° + α) = sin(3π2 + α) =

Задание 3

1 + tg²x =

Задание 4

cos(α + β) =
Сохранение результатов: ответы передаются учителю автоматически во время работы; после завершения тренировки ZIP-архив с результатами также сохраняется в папку загрузок.

Результат

Тренировка завершена

—

Результат по темам

ТемаРезультат

Сохранение и отправка

ZIP с полным JSON телеметрии автоматически сохранён в загрузки. Архив можно скачать повторно.

Подготавливается отправка результатов…
Раздел 1 из 6