Арифметический квадратный корень и квадратные уравнения

Маршрут пары

0–8 минПроверка домашнего заданияПисьменная работа по материалу предыдущего урока.

8–16 минАрифметический квадратный кореньОпределение, условия существования, формула √a² = |a|.

16–28 минПреобразования выражений с корнямиВынесение и внесение множителя, приведение подобных радикалов, формулы сокращённого умножения, рационализация знаменателя.

28–40 минПрактикаЗадания базового и повышенного уровня на преобразование выражений.

40–48 минКвадратные уравненияВыбор рационального способа решения, дискриминант, иррациональные корни.

48–55 минТеорема Виета и квадратный трёхчленСвязь корней и коэффициентов; разложение квадратного трёхчлена на множители.

55–60 минУравнения, приводимые к квадратнымАлгебраические преобразования и метод замены переменной.

60–80 минПроверочная работаСамостоятельная письменная работа на отдельном листе.

Организация. Материал рассматривается в режиме повторения. Базовые определения и свойства формулируются кратко; основное внимание уделяется преобразованиям выражений, выбору рационального метода решения и связи между корнями квадратного уравнения и разложением квадратного трёхчлена.

1. Проверка домашнего задания

8 минут

2. Арифметический квадратный корень: определения и ограничения

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b \geq 0 и b^{2} = a

Подкоренное выражение

В действительных числах необходимо $a \geq 0$ .

Знак результата

$\sqrt{a} \geq 0$ . Поэтому $\sqrt{49} = 7$ , а не ±7.

Ключевая формула

$\sqrt{a^{2}} = | a |$ . Модуль может быть снят только при известном знаке a.

Следует различать два утверждения:

\sqrt{a^{2}} = | a |

, но уравнение

x^{2} = a

при

a > 0

имеет два корня:

x = \pm \sqrt{a}

Свойства, используемые в преобразованиях

Свойство	Условия	Назначение
$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$	$a \geq 0, b \geq 0$	Выделение полного квадрата.
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$a \geq 0, b > 0$	Преобразование корня из дроби.
$\sqrt{a^{2}} = \| a \|$	a — любое действительное число	Работа с переменными.
${(\sqrt{a})}^{2} = a$	$a \geq 0$	Упрощение квадратов выражений с корнем.

3. Тождественные преобразования выражений с квадратными корнями

При повторении необходимо уметь не только вычислять квадратные корни, но и выполнять тождественные преобразования: выделять полный квадрат, учитывать модуль, приводить подобные радикалы и применять формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Приведение подобных радикалов

2 \sqrt{75} - 3 \sqrt{12} + \sqrt{27} = 10 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}

Пример 2. Переменная под знаком корня

\sqrt{18 a^{2}} = 3 | a | \sqrt{2}

Пример 3. Формула квадрата разности

{(\sqrt{7} - \sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{21} = 10

Пример 4. Сопряжённые выражения

Произведение

(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2) = 1

Рационализация знаменателя

\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 2

4. Практика по квадратным корням

А. Базовое преобразование

Упростите $3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18} + \sqrt{50}$ .

Решение

$5 \sqrt{2}$ .

Б. Формула сокращённого умножения

Упростите ${(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}$ .

Решение

$7 - 2 \sqrt{10}$ .

В. С переменной

Упростите $\sqrt{48 x^{2}}$ .

Решение

$4 | x | \sqrt{3}$ .

Г. Повышенный уровень

Упростите $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ .

Решение

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ .

5. Способы решения квадратных уравнений

После приведения к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ следует определить его вид и выбрать рациональный способ решения. Формула корней применима к любому квадратному уравнению, однако в неполных уравнениях или при очевидном разложении на множители целесообразно использовать более простой способ.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

Для квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$ вычисляют дискриминант:

D = b^{2} - 4 a c

$D > 0$

Уравнение имеет два различных действительных корня:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

$D = 0$

Уравнение имеет один действительный корень:

x = \frac{- b}{2 a}

$D < 0$

Действительных корней нет.

Общий множитель

$3 x^{2} - 12 x = 0$ → вынести $3 x$ .

Разность квадратов

$x^{2} - 25 = 0$ → разложить на множители.

Полное уравнение

Если непосредственное разложение на множители не просматривается, применяют формулу корней или теорему Виета.

Пример: иррациональные корни

x^{2} - 6 x + 1 = 0

D = 32, \sqrt{D} = 4 \sqrt{2}

x_{1} = 3 + 2 \sqrt{2}, x_{2} = 3 - 2 \sqrt{2}

Важно: если

\sqrt{D}

не является целым числом, необходимо упростить соответствующий радикал, если такое преобразование возможно.

6. Теорема Виета и квадратный трёхчлен

Связь корней и коэффициентов

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Разложение по корням

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Пример. Разложение квадратного трёхчлена

Для $2 x^{2} - 5 x - 3$ корни равны $3$ и $- \frac{1}{2}$ , поэтому

2 x^{2} - 5 x - 3 = (2 x + 1) (x - 3)

Связь с рациональными выражениями

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} = \frac{x - 3}{x + 2}

При этом исходные ограничения сохраняются: $x \neq \pm 2$ .

7. Уравнения, приводимые к квадратным. Метод замены переменной

Приведение к квадратному уравнению алгебраическими преобразованиями

(x - 1) (x + 4) = 6 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 10 = 0 \Rightarrow x = 2 или x = - 5

Биквадратное уравнение

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

t = x^{2} \Rightarrow t^{2} - 5 t + 4 = 0

t = 1 или t = 4 \Rightarrow x = \pm 1 или x = \pm 2

Дополнительный пример: уравнение с параметром

$x^{2} - (a + 1) x + a = 0$ раскладывается как $(x - 1) (x - a) = 0$ . Корни — 1 и a; при $a = 1$ они совпадают.

8. Проверочная работа

20 минут
Формат: самостоятельная письменная работа на отдельном листе. Работа охватывает материал текущей пары и предназначена для проверки владения основными преобразованиями выражений с квадратными корнями, способами решения квадратных уравнений и разложением квадратного трёхчлена на множители. Задания в конспект не включаются.

9. Домашняя работа: закрепление и повышение уровня

Обязательная часть охватывает основные приёмы урока. Дополнительная часть требует сочетания нескольких приёмов.

Обязательная часть

Упростите $\sqrt{72}$ .
Упростите $\sqrt{48 a^{2}}$ .
Упростите $3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18} + \sqrt{50}$ .
Упростите ${(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}$ .
Рационализируйте знаменатель: $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ .
Решите $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .
Решите $2 x^{2} + x - 6 = 0$ .
Решите $3 x^{2} - 12 x = 0$ рациональным способом.
Разложите на множители $2 x^{2} - 7 x + 3$ .
Решите $(x - 1) (x + 4) = 6$ .

Дополнительная часть

Решите $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ .
Разложите на множители $x^{2} - 4 x + 1$ над действительными числами.
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ .
Упростите $\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4}$ и укажите допустимые значения x.

Краткие ответы

1) 6√2. 2) 4|a|√3. 3) 5√2. 4) 7−2√10. 5) (√3+1)/2. 6) 2; 5. 7) −2; 3/2. 8) 0; 4. 9) (2x−1)(x−3). 10) −5; 2. 11) −3; −2; 2; 3. 12) (x−2−√3)(x−2+√3). 13) x²−4x+1=0. 14) (x−3)/(x+2), x≠±2.

Итог пары

Базовый уровень

применять свойства квадратного корня с учётом условий;
упрощать суммы и произведения радикалов;
решать полные и неполные квадратные уравнения;
определять число корней по дискриминанту.

Повышенный уровень

учитывать модуль при извлечении корня из квадрата;
применять формулы сокращённого умножения и преобразования с сопряжёнными выражениями;
применять теорему Виета и разложение квадратного трёхчлена;
решать уравнения, приводимые к квадратным, в том числе методом замены переменной.