Линейные уравнения, неравенства и системы

Цель занятия

Восстановить основные алгоритмы решения

После урока вы должны уметь решать линейные уравнения и линейные неравенства, записывать решение неравенства числовым промежутком и решать системы двух линейных уравнений методом подстановки или сложения.

Сегодня отдельная диагностическая работа по теме не проводится. Значительная часть урока отведена разбору домашнего задания и предыдущих работ, поэтому закрепление материала обеспечивается расширенным набором примеров и увеличенным объёмом домашней работы.

Этап 1разбор домашней работы и результатов предыдущих работ

Этап 2краткое повторение основных правил

Этап 3разбор типовых и особых случаев

Этап 4расширенная самостоятельная работа

Блок 1

Линейные уравнения

В простейшем виде линейное уравнение записывается как ax + b = 0. При решении исходное уравнение последовательно заменяют равносильными уравнениями, то есть уравнениями с тем же множеством решений.

Можно

A = B ⇒ A + c = B + c

Прибавить или вычесть одно и то же число в обеих частях.

Можно

A = B ⇒ kA = kB

Умножить или разделить обе части на одно и то же ненулевое число.

Рабочий алгоритм

раскрыть скобки и, при необходимости, устранить дробные коэффициенты;
перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую;
привести подобные слагаемые;
разделить обе части на коэффициент при x и, при необходимости, выполнить проверку.

Один корень

3(2x − 1) − 5 = 2(x + 4)

6x − 3 − 5 = 2x + 8
4x = 16
x = 4.

Уравнение с дробями

x − 23 + x + 12 = 4

Умножаем обе части на 6:
2(x − 2) + 3(x + 1) = 24
5x − 1 = 24
x = 5.

Особые случаи: корней нет или подходит любое число

Нет решений: 2(3x − 1) = 6x + 5 ⇒ 6x − 2 = 6x + 5 ⇒ −2 = 5. Получили ложное равенство.

Бесконечно много решений: 4(x − 2) = 4x − 8 ⇒ 4x − 8 = 4x − 8. Получили верное равенство при любом x.

Блок 2

Линейные неравенства

Основные равносильные преобразования выполняются так же, как при решении уравнений. Существенное отличие связано с изменением знака неравенства при умножении или делении обеих частей на отрицательное число.

Ключевое правило: если обе части неравенства умножаем или делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

−2x ≥ 6 ⇒ x ≤ −3.

Деление на отрицательное число

5 − 2x ≥ 11

−2x ≥ 6
делим обе части на −2; знак неравенства изменяется на противоположный:
x ≤ −3
Ответ: (−∞; −3].

Неравенство со скобками

3(2x − 1) < 5x + 4

6x − 3 < 5x + 4
x < 7
Ответ: (−∞; 7).

Пример с дробными коэффициентами

2x − 13 ≤ x + 2.
Умножаем обе части на положительное число 3; знак неравенства сохраняется:
2x − 1 ≤ 3x + 6 ⇒ −7 ≤ x ⇒ x ≥ −7.
Ответ: [−7; +∞).

Запись ответа

Числовые промежутки

Неравенство	Промежуток	Что происходит с точкой a
x < a	(−∞; a)	a не входит
x ≤ a	(−∞; a]	a входит
x > a	(a; +∞)	a не входит
x ≥ a	[a; +∞)	a входит

∞ никогда не включается, поэтому рядом с −∞ и +∞ всегда ставится круглая скобка.

Блок 3

Системы двух линейных уравнений

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы.

Метод подстановки

Метод целесообразно применять, когда одна переменная уже выражена через другую или легко может быть выражена.

{y = 2x − 3x + y = 9

x + (2x − 3) = 9 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4.
y = 2·4 − 3 = 5.
Ответ: (4; 5).

Метод сложения

Метод целесообразно применять, когда коэффициенты при одной из переменных противоположны или могут быть сделаны противоположными простым умножением одного из уравнений.

{2x + 3y = 124x − 3y = 6

Складываем левые и правые части уравнений:
6x = 18 ⇒ x = 3.
2·3 + 3y = 12 ⇒ y = 2.
Ответ: (3; 2).

Выбор метода является частью решения. Способ решения следует выбирать с учётом вида уравнений и их коэффициентов.

Особые случаи при исключении переменной

Если после исключения переменных получено тождественно верное равенство, например 0 = 0, уравнения системы зависимы; система имеет бесконечно много решений.

Если получено ложное равенство, например 0 = 3, система несовместна и не имеет решений.

Разбираем в классе

Примеры для разбора на уроке

Примеры предназначены для последовательного разбора у доски. Полное решение рекомендуется открывать после обсуждения способа решения. При ограниченном времени приоритетными являются задания 2, 4, 6 и 7.

1. Уравнение

7x − 9 = 5x + 13

Решение

2x = 22 ⇒ x = 11.

2. Уравнение со скобками

4(2x − 3) − 5 = 3x + 8

Решение

8x − 17 = 3x + 8 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5.

3. Особый случай

5(x − 2) = 5x + 1

Решение

5x − 10 = 5x + 1 ⇒ −10 = 1. Противоречие, поэтому решений нет.

4. Неравенство

7 − 3x < 16

Решение

−3x < 9. Делим обе части на −3; знак неравенства изменяется на противоположный: x > −3. Ответ: (−3; +∞).

5. Неравенство со скобками

2(2x − 1) > 3x + 5

Решение

4x − 2 > 3x + 5 ⇒ x > 7. Ответ: (7; +∞).

6. Система: сложение

{x + y = 72x − y = 5

Решение

Складываем уравнения: 3x = 12 ⇒ x = 4. Тогда y = 3. Ответ: (4; 3).

7. Система: подстановка

{y = 3x − 42x + y = 11

Решение

2x + 3x − 4 = 11 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3. Тогда y = 5. Ответ: (3; 5).

8. Дополнительный пример

x − 12 ≥ x + 53

Решение

Умножаем на 6: 3x − 3 ≥ 2x + 10 ⇒ x ≥ 13. Ответ: [13; +∞).

Короткая тренировка

Проверьте владение основными алгоритмами

Этот блок не является диагностической работой; результаты не сохраняются. Его назначение — выявить элементы алгоритмов, которые требуют дополнительного повторения.

Самостоятельная работа

Домашнее задание

Сегодня объём домашней работы увеличен, поскольку отдельная диагностическая работа по теме не проводилась. В решениях необходимо фиксировать ключевые преобразования, особенно изменение знака неравенства при делении или умножении на отрицательное число и выбор метода решения системы.

Обязательная часть

Решите уравнение: 7x − 9 = 5x + 13.
Решите уравнение: 4(2x − 3) − 5 = 3x + 8.
Решите уравнение: x + 12 − x − 23 = 2.
Решите уравнение: 3(2x − 5) + 4 = 6x − 11.
Решите уравнение: 5(x − 2) = 5x + 1.
Решите неравенство и запишите ответ промежутком: 4x − 7 > 9.
Решите неравенство и запишите ответ промежутком: 5 − 3x ≤ 17.
Решите неравенство и запишите ответ промежутком: 2(2x − 1) > 3x + 5.
Решите неравенство: x − 12 ≥ x + 53.
Решите систему: x + y = 7; 2x − y = 5.
Решите систему: 2x + 3y = 12; 4x − 3y = 6.
Решите систему: y = 3x − 4; 2x + y = 11.

Дополнительная часть

Решите неравенство: 2x − 34 − x + 12 ≤ 1. После упрощения определите, остаётся ли в неравенстве переменная.
Исследуйте систему: 2x − 3y = 7; 4x − 6y = 14. Сколько у неё решений?
Исследуйте систему: 2x + y = 1; 4x + 2y = 5. Сколько у неё решений?

Подсказки к дополнительной части

13. Умножьте неравенство на 4 и полностью приведите подобные слагаемые.

14–15. Умножьте первое уравнение на 2 и сопоставьте полученное уравнение со вторым.

Ответы для самопроверки

1) x = 11.

2) x = 5.

3) x = 5.

4) x ∈ ℝ.

5) Решений нет.

6) x > 4; (4; +∞).

7) x ≥ −4; [−4; +∞).

8) x > 7; (7; +∞).

9) x ≥ 13; [13; +∞).

10) (4; 3).

11) (3; 2).

12) (3; 5).

13) x ∈ ℝ.

14) Бесконечно много решений: оба уравнения задают одну и ту же прямую.

15) Решений нет: левые части пропорциональны, правые — нет.

Что должно остаться после урока

Уравнение
равносильные преобразования и проверка особых случаев

Неравенство
смена знака при делении или умножении на отрицательное число

Система
выбор рационального метода: подстановки или сложения