Знаки
−7 + 12 − 9 = −4
Удобно считать слева направо: −7 + 12 = 5, затем 5 − 9 = −4.
Цель занятия
Общий язык для дальнейшей алгебры
После занятия вы должны уметь классифицировать числа, выполнять базовые вычисления и упрощать целые выражения.
Важно: здесь ценится не только ответ, но и понятная запись ключевого шага.
Лекционно-исторический блок
Как расширялся мир чисел
Эта цепочка — логика математических потребностей, а не строгая хронология. Например, дроби применяли ещё в древности, а отрицательные числа долго принимали с трудом.
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
Краткая теория
Числовые множества
| Множество | Что входит | Примеры | Чего ещё не хватает |
|---|---|---|---|
| ℕ, натуральные | Числа для счёта: 1, 2, 3, … | 5; 117 | 3 − 5 |
| ℤ, целые | Натуральные, противоположные им числа и 0 | −7; 0; 12 | 1 : 2 |
| ℚ, рациональные | Числа вида m/n, где m ∈ ℤ, n ∈ ℕ | 3/5; −2; 0,75; 0,(3) | x² = 2 |
| ℝ \ ℚ, иррациональные | Действительные, которые нельзя представить дробью m/n | √2; π | — |
| ℝ, действительные | Рациональные и иррациональные | −4; 2/3; √7 | x² = −1 |
Правило «наименьшего множества». √16 = 4, поэтому √16 относим к ℕ, хотя оно также принадлежит ℤ, ℚ и ℝ.
Повторяем навык 1
Числа и вычисления
Обыкновенные дроби
3/4 − 5/6 = −1/12
При сложении и вычитании нужен общий знаменатель.
Деление дробей
3/5 : 9/10 = 2/3
Деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю.
Показать подробное решение примеров с дробями
3/4 − 5/6: НОК(4, 6) = 12. Получаем 9/12 − 10/12 = −1/12.
3/5 : 9/10: 3/5 · 10/9 = 30/45 = 2/3.
Порядок действий
- действия в скобках;
- степени;
- умножение и деление слева направо;
- сложение и вычитание слева направо.
2 + 3 · (−4) = 2 − 12 = −10
Процент от числа
Чтобы найти p% от числа a, умножьте число на p/100.
15% от 240 = 240 · 15/100 = 36
25% = 1/4, 50% = 1/2, 10% = 1/10 — эти связи ускоряют устный счёт.
Повторяем навык 2
Целые выражения
Целое выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень; переменная не стоит в знаменателе.
Подобные слагаемые
4a − 7 + 3a + 2 = 7a − 5
Складываем коэффициенты только у одинаковой буквенной части.
Раскрытие скобок
−(x − 4) = −x + 4
Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого.
Подстановка
2a² − 3b, a=−2, b=3
Отрицательное значение подставляйте в скобках: (−2)² = 4.
Показать полный разбор сложного примера
Упростить: 5(2x − 3) − 4(x + 1).
- Раскрываем скобки: 10x − 15 − 4x − 4.
- Приводим подобные: (10x − 4x) + (−15 − 4).
- Ответ: 6x − 19.
Показать подстановку
2a² − 3b при a = −2, b = 3:
2 · (−2)² − 3 · 3 = 2 · 4 − 9 = −1.
2 · (−2)² − 3 · 3 = 2 · 4 − 9 = −1.
Самопроверка
Проверь себя
Самостоятельная работа
Домашняя работа
Записывайте ключевой промежуточный шаг. Если задание не получается, отметьте знаком «?» место, на котором возникло затруднение.
- Распределите 8, −5, 0,75, √3, √25 по наименьшим множествам ℕ, ℤ, ℚ, ℝ \ ℚ.
- Вычислите: −12 + 7 − 5.
- Вычислите: 7/10 − 3/5.
- Вычислите: 5/8 : 15/16.
- Найдите 25% от 360.
- Упростите: 7x − 3 + 2x − 8.
- Упростите: 3(2a − 5) − 4(a + 1).
- Найдите значение 2m² − n при m = −2, n = 7.
Открыть ответы для самопроверки
1) 8 ∈ ℕ; −5 ∈ ℤ; 0,75 ∈ ℚ; √3 ∈ ℝ \ ℚ; √25 = 5 ∈ ℕ.
2) −10.
3) 1/10.
4) 2/3.
5) 90.
6) 9x − 11.
7) 2a − 19.
8) 1.
Перед следующим уроком
Убедитесь, что вы можете без подсказки выполнить три действия:
Классифицировать
например, √25
например, √25
Вычислить
например, 5/6 − 1/3
например, 5/6 − 1/3
Упростить
например, 4(2x−3)−3(x+1)
например, 4(2x−3)−3(x+1)